ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzosplitprm1 Unicode version
Theorem fzosplitprm1 9243
Description: Extending a half-open integer range by an unordered pair at the end. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
fzosplitprm1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> ( A..^ ( B + 1 ) ) = ( ( A..^ ( B - 1 ) ) u. { ( B - 1 ) , B } ) )
Proof of Theorem fzosplitprm1
StepHypRef Expression
1 simp1 938 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> A e. ZZ )
2 simp2 939 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> B e. ZZ )
3 zre 8355 . . . . . 6 |- ( A e. ZZ -> A e. RR )
4 zre 8355 . . . . . 6 |- ( B e. ZZ -> B e. RR )
5 ltle 7198 . . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> A <_ B ) )
63, 4, 5syl2an 283 . . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A < B -> A <_ B ) )
763impia 1135 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> A <_ B )
8 eluz2 8625 . . . 4 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) <-> ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A <_ B ) )
91, 2, 7, 8syl3anbrc 1122 . . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> B e. ( ZZ>= ` A ) )
10 fzosplitsn 9242 . . 3 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( A..^ ( B + 1 ) ) = ( ( A..^ B ) u. { B } ) )
119, 10syl 14 . 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> ( A..^ ( B + 1 ) ) = ( ( A..^ B ) u. { B } ) )
12 zcn 8356 . . . . . . 7 |- ( B e. ZZ -> B e. CC )
13 ax-1cn 7069 . . . . . . 7 |- 1 e. CC
14 npcan 7317 . . . . . . . 8 |- ( ( B e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( B - 1 ) + 1 ) = B )
1514eqcomd 2086 . . . . . . 7 |- ( ( B e. CC /\ 1 e. CC ) -> B = ( ( B - 1 ) + 1 ) )
1612, 13, 15sylancl 404 . . . . . 6 |- ( B e. ZZ -> B = ( ( B - 1 ) + 1 ) )
17163ad2ant2 960 . . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> B = ( ( B - 1 ) + 1 ) )
1817oveq2d 5548 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> ( A..^ B ) = ( A..^ ( ( B - 1 ) + 1 ) ) )
19 peano2zm 8389 . . . . . . 7 |- ( B e. ZZ -> ( B - 1 ) e. ZZ )
20193ad2ant2 960 . . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> ( B - 1 ) e. ZZ )
21 zltlem1 8408 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A < B <-> A <_ ( B - 1 ) ) )
2221biimp3a 1276 . . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> A <_ ( B - 1 ) )
23 eluz2 8625 . . . . . 6 |- ( ( B - 1 ) e. ( ZZ>= ` A ) <-> ( A e. ZZ /\ ( B - 1 ) e. ZZ /\ A <_ ( B - 1 ) ) )
241, 20, 22, 23syl3anbrc 1122 . . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> ( B - 1 ) e. ( ZZ>= ` A ) )
25 fzosplitsn 9242 . . . . 5 |- ( ( B - 1 ) e. ( ZZ>= ` A ) -> ( A..^ ( ( B - 1 ) + 1 ) ) = ( ( A..^ ( B - 1 ) ) u. { ( B - 1 ) } ) )
2624, 25syl 14 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> ( A..^ ( ( B - 1 ) + 1 ) ) = ( ( A..^ ( B - 1 ) ) u. { ( B - 1 ) } ) )
2718, 26eqtrd 2113 . . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> ( A..^ B ) = ( ( A..^ ( B - 1 ) ) u. { ( B - 1 ) } ) )
2827uneq1d 3125 . 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> ( ( A..^ B ) u. { B } ) = ( ( ( A..^ ( B - 1 ) ) u. { ( B - 1 ) } ) u. { B } ) )
29 unass 3129 . . 3 |- ( ( ( A..^ ( B - 1 ) ) u. { ( B - 1 ) } ) u. { B } ) = ( ( A..^ ( B - 1 ) ) u. ( { ( B - 1 ) } u. { B } ) )
30 df-pr 3405 . . . . . 6 |- { ( B - 1 ) , B } = ( { ( B - 1 ) } u. { B } )
3130eqcomi 2085 . . . . 5 |- ( { ( B - 1 ) } u. { B } ) = { ( B - 1 ) , B }
3231a1i 9 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> ( { ( B - 1 ) } u. { B } ) = { ( B - 1 ) , B } )
3332uneq2d 3126 . . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> ( ( A..^ ( B - 1 ) ) u. ( { ( B - 1 ) } u. { B } ) ) = ( ( A..^ ( B - 1 ) ) u. { ( B - 1 ) , B } ) )
3429, 33syl5eq 2125 . 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> ( ( ( A..^ ( B - 1 ) ) u. { ( B - 1 ) } ) u. { B } ) = ( ( A..^ ( B - 1 ) ) u. { ( B - 1 ) , B } ) )
3511, 28, 343eqtrd 2117 1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> ( A..^ ( B + 1 ) ) = ( ( A..^ ( B - 1 ) ) u. { ( B - 1 ) , B } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   /\ w3a 919   = wceq 1284   e. wcel 1433   u. cun 2971   {csn 3398   {cpr 3399   class class class wbr 3785   ` cfv 4922  (class class class)co 5532   CCcc 6979   RRcr 6980   1c1 6982   + caddc 6984   < clt 7153   <_ cle 7154   - cmin 7279   ZZcz 8351   ZZ>=cuz 8619  ..^cfzo 9152
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-addcom 7076  ax-addass 7078  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-inn 8040  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620  df-fz 9030  df-fzo 9153
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator