Theorem npcan 7317

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
npcan	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A - B ) + B ) = A )

Proof of Theorem npcan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subcl 7307	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - B ) e. CC )
2		simpr 108	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> B e. CC )
3	1, 2	addcomd 7259	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A - B ) + B ) = ( B + ( A - B ) ) )
4		pncan3 7316	. . 3 |- ( ( B e. CC /\ A e. CC ) -> ( B + ( A - B ) ) = A )
5	4	ancoms 264	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( B + ( A - B ) ) = A )
6	3, 5	eqtrd 2113	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A - B ) + B ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   = wceq 1284   e. wcel 1433  (class class class)co 5532   CCcc 6979   + caddc 6984   - cmin 7279

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-setind 4280  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-addcom 7076  ax-addass 7078  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-cnre 7087

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-sub 7281

This theorem is referenced by:  addsubass  7318  npncan  7329  nppcan  7330  nnpcan  7331  subcan2  7333  nnncan  7343  npcand  7423  nn1suc  8058  zlem1lt  8407  zltlem1  8408  peano5uzti  8455  nummac  8521  uzp1  8652  peano2uzr  8673  fz01en  9072  fzsuc2  9096  fseq1m1p1  9112  fzoss2  9181  fzoaddel2  9202  fzosplitsnm1  9218  fzosplitprm1  9243  modfzo0difsn  9397  iseqm1  9447  monoord2  9456  isermono  9457  expm1t  9504  expubnd  9533  bcm1k  9687  bcn2  9691  shftlem  9704  shftfvalg  9706  shftfval  9709  iiserex  10177  serif0  10189  dvdssub2  10237