Theorem indstr2 8696

Description: Strong Mathematical Induction for positive integers (inference schema). The first two hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. (Contributed by Paul Chapman, 21-Nov-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
indstr2.1	|- ( x = 1 -> ( ph <-> ch ) )
indstr2.2	|- ( x = y -> ( ph <-> ps ) )
indstr2.3	|- ch
indstr2.4	|- ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A. y e. NN ( y < x -> ps ) -> ph ) )

Assertion

Ref	Expression
indstr2	|- ( x e. NN -> ph )

Distinct variable groups:   ph, y   ps, x   x, y

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( y)   ch( x, y)

Proof of Theorem indstr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		indstr2.2	. 2 |- ( x = y -> ( ph <-> ps ) )
2		elnn1uz2 8694	. . 3 |- ( x e. NN <-> ( x = 1 \/ x e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
3		indstr2.3	. . . . 5 |- ch
4		nnnlt1 8065	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. NN -> -. y < 1 )
5	4	adantl 271	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = 1 /\ y e. NN ) -> -. y < 1 )
6		breq2 3789	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = 1 -> ( y < x <-> y < 1 ) )
7	6	adantr 270	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = 1 /\ y e. NN ) -> ( y < x <-> y < 1 ) )
8	5, 7	mtbird 630	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = 1 /\ y e. NN ) -> -. y < x )
9	8	pm2.21d 581	. . . . . . . 8 |- ( ( x = 1 /\ y e. NN ) -> ( y < x -> ps ) )
10	9	ralrimiva 2434	. . . . . . 7 |- ( x = 1 -> A. y e. NN ( y < x -> ps ) )
11		pm5.5 240	. . . . . . 7 |- ( A. y e. NN ( y < x -> ps ) -> ( ( A. y e. NN ( y < x -> ps ) -> ph ) <-> ph ) )
12	10, 11	syl 14	. . . . . 6 |- ( x = 1 -> ( ( A. y e. NN ( y < x -> ps ) -> ph ) <-> ph ) )
13		indstr2.1	. . . . . 6 |- ( x = 1 -> ( ph <-> ch ) )
14	12, 13	bitrd 186	. . . . 5 |- ( x = 1 -> ( ( A. y e. NN ( y < x -> ps ) -> ph ) <-> ch ) )
15	3, 14	mpbiri 166	. . . 4 |- ( x = 1 -> ( A. y e. NN ( y < x -> ps ) -> ph ) )
16		indstr2.4	. . . 4 |- ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A. y e. NN ( y < x -> ps ) -> ph ) )
17	15, 16	jaoi 668	. . 3 |- ( ( x = 1 \/ x e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( A. y e. NN ( y < x -> ps ) -> ph ) )
18	2, 17	sylbi 119	. 2 |- ( x e. NN -> ( A. y e. NN ( y < x -> ps ) -> ph ) )
19	1, 18	indstr 8681	1 |- ( x e. NN -> ph )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   \/ wo 661   = wceq 1284   e. wcel 1433   A.wral 2348   class class class wbr 3785   ` cfv 4922   1c1 6982   < clt 7153   NNcn 8039   2c2 8089   ZZ>=cuz 8619

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-addcom 7076  ax-addass 7078  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-ltadd 7092

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-inn 8040  df-2 8098  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620

This theorem is referenced by: (None)