Theorem intasym 4729

Description: Two ways of saying a relation is antisymmetric. Definition of antisymmetry in [Schechter] p. 51. (Contributed by NM, 9-Sep-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
intasym	|- ( ( R i^i `' R ) C_ _I <-> A. x A. y ( ( x R y /\ y R x ) -> x = y ) )

Distinct variable group:   x, y, R

Proof of Theorem intasym

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 4723	. . 3 |- Rel `' R
2		relin2 4474	. . 3 |- ( Rel `' R -> Rel ( R i^i `' R ) )
3		ssrel 4446	. . 3 |- ( Rel ( R i^i `' R ) -> ( ( R i^i `' R ) C_ _I <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. ( R i^i `' R ) -> <. x , y >. e. _I ) ) )
4	1, 2, 3	mp2b 8	. 2 |- ( ( R i^i `' R ) C_ _I <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. ( R i^i `' R ) -> <. x , y >. e. _I ) )
5		elin 3155	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. ( R i^i `' R ) <-> ( <. x , y >. e. R /\ <. x , y >. e. `' R ) )
6		df-br 3786	. . . . . 6 |- ( x R y <-> <. x , y >. e. R )
7		vex 2604	. . . . . . . 8 |- x e. _V
8		vex 2604	. . . . . . . 8 |- y e. _V
9	7, 8	brcnv 4536	. . . . . . 7 |- ( x `' R y <-> y R x )
10		df-br 3786	. . . . . . 7 |- ( x `' R y <-> <. x , y >. e. `' R )
11	9, 10	bitr3i 184	. . . . . 6 |- ( y R x <-> <. x , y >. e. `' R )
12	6, 11	anbi12i 447	. . . . 5 |- ( ( x R y /\ y R x ) <-> ( <. x , y >. e. R /\ <. x , y >. e. `' R ) )
13	5, 12	bitr4i 185	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. ( R i^i `' R ) <-> ( x R y /\ y R x ) )
14		df-br 3786	. . . . 5 |- ( x _I y <-> <. x , y >. e. _I )
15	8	ideq 4506	. . . . 5 |- ( x _I y <-> x = y )
16	14, 15	bitr3i 184	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. _I <-> x = y )
17	13, 16	imbi12i 237	. . 3 |- ( ( <. x , y >. e. ( R i^i `' R ) -> <. x , y >. e. _I ) <-> ( ( x R y /\ y R x ) -> x = y ) )
18	17	2albii 1400	. 2 |- ( A. x A. y ( <. x , y >. e. ( R i^i `' R ) -> <. x , y >. e. _I ) <-> A. x A. y ( ( x R y /\ y R x ) -> x = y ) )
19	4, 18	bitri 182	1 |- ( ( R i^i `' R ) C_ _I <-> A. x A. y ( ( x R y /\ y R x ) -> x = y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   A.wal 1282   e. wcel 1433   i^i cin 2972   C_ wss 2973   <.cop 3401   class class class wbr 3785   _I cid 4043   `'ccnv 4362   Rel wrel 4368

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-br 3786  df-opab 3840  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371

This theorem is referenced by: (None)