Theorem iser0 9471

Description: The value of the partial sums in a zero-valued infinite series. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Aug-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
iser0.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )

Assertion

Ref	Expression
iser0	|- ( N e. Z -> ( seq M ( + , ( Z X. { 0 } ) , CC ) ` N ) = 0 )

Proof of Theorem iser0

Dummy variables k v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		00id 7249	. . 3 |- ( 0 + 0 ) = 0
2	1	a1i 9	. 2 |- ( N e. Z -> ( 0 + 0 ) = 0 )
3		iser0.1	. . . 4 |- Z = ( ZZ>= ` M )
4	3	eleq2i 2145	. . 3 |- ( N e. Z <-> N e. ( ZZ>= ` M ) )
5	4	biimpi 118	. 2 |- ( N e. Z -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
6		0cn 7111	. . 3 |- 0 e. CC
7		elfzuz 9041	. . . . 5 |- ( k e. ( M ... N ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
8	7, 3	syl6eleqr 2172	. . . 4 |- ( k e. ( M ... N ) -> k e. Z )
9	8	adantl 271	. . 3 |- ( ( N e. Z /\ k e. ( M ... N ) ) -> k e. Z )
10		fvconst2g 5396	. . 3 |- ( ( 0 e. CC /\ k e. Z ) -> ( ( Z X. { 0 } ) ` k ) = 0 )
11	6, 9, 10	sylancr 405	. 2 |- ( ( N e. Z /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( ( Z X. { 0 } ) ` k ) = 0 )
12		0cnd 7112	. 2 |- ( N e. Z -> 0 e. CC )
13		cnex 7097	. . 3 |- CC e. _V
14	13	a1i 9	. 2 |- ( N e. Z -> CC e. _V )
15	3	eleq2i 2145	. . . . . 6 |- ( k e. Z <-> k e. ( ZZ>= ` M ) )
16	15	biimpri 131	. . . . 5 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> k e. Z )
17	16	adantl 271	. . . 4 |- ( ( N e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> k e. Z )
18	6, 17, 10	sylancr 405	. . 3 |- ( ( N e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( Z X. { 0 } ) ` k ) = 0 )
19	18, 6	syl6eqel 2169	. 2 |- ( ( N e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( Z X. { 0 } ) ` k ) e. CC )
20		addcl 7098	. . 3 |- ( ( k e. CC /\ v e. CC ) -> ( k + v ) e. CC )
21	20	adantl 271	. 2 |- ( ( N e. Z /\ ( k e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( k + v ) e. CC )
22	2, 5, 11, 12, 14, 19, 21	iseqid3s 9466	1 |- ( N e. Z -> ( seq M ( + , ( Z X. { 0 } ) , CC ) ` N ) = 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   = wceq 1284   e. wcel 1433   _Vcvv 2601   {csn 3398   X. cxp 4361   ` cfv 4922  (class class class)co 5532   CCcc 6979   0cc0 6981   + caddc 6984   ZZ>=cuz 8619   ...cfz 9029   seqcseq 9431

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-addcom 7076  ax-addass 7078  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-ltadd 7092

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-frec 6001  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-inn 8040  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620  df-fz 9030  df-fzo 9153  df-iseq 9432

This theorem is referenced by:  iser0f  9472