Theorem limom 4354

Description: Omega is a limit ordinal. Theorem 2.8 of [BellMachover] p. 473. (Contributed by NM, 26-Mar-1995.) (Proof rewritten by Jim Kingdon, 5-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
limom	|- Lim om

Proof of Theorem limom

Dummy variables x z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordom 4347	. 2 |- Ord om
2		peano1 4335	. 2 |- (/) e. om
3		vex 2604	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
4	3	sucex 4243	. . . . . . . 8 |- suc x e. _V
5	4	isseti 2607	. . . . . . 7 |- E. z z = suc x
6		peano2 4336	. . . . . . . . 9 |- ( x e. om -> suc x e. om )
7	3	sucid 4172	. . . . . . . . 9 |- x e. suc x
8	6, 7	jctil 305	. . . . . . . 8 |- ( x e. om -> ( x e. suc x /\ suc x e. om ) )
9		eleq2 2142	. . . . . . . . 9 |- ( z = suc x -> ( x e. z <-> x e. suc x ) )
10		eleq1 2141	. . . . . . . . 9 |- ( z = suc x -> ( z e. om <-> suc x e. om ) )
11	9, 10	anbi12d 456	. . . . . . . 8 |- ( z = suc x -> ( ( x e. z /\ z e. om ) <-> ( x e. suc x /\ suc x e. om ) ) )
12	8, 11	syl5ibr 154	. . . . . . 7 |- ( z = suc x -> ( x e. om -> ( x e. z /\ z e. om ) ) )
13	5, 12	eximii 1533	. . . . . 6 |- E. z ( x e. om -> ( x e. z /\ z e. om ) )
14	13	19.37aiv 1605	. . . . 5 |- ( x e. om -> E. z ( x e. z /\ z e. om ) )
15		eluni 3604	. . . . 5 |- ( x e. U. om <-> E. z ( x e. z /\ z e. om ) )
16	14, 15	sylibr 132	. . . 4 |- ( x e. om -> x e. U. om )
17	16	ssriv 3003	. . 3 |- om C_ U. om
18		orduniss 4180	. . . 4 |- ( Ord om -> U. om C_ om )
19	1, 18	ax-mp 7	. . 3 |- U. om C_ om
20	17, 19	eqssi 3015	. 2 |- om = U. om
21		dflim2 4125	. 2 |- ( Lim om <-> ( Ord om /\ (/) e. om /\ om = U. om ) )
22	1, 2, 20, 21	mpbir3an 1120	1 |- Lim om

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   = wceq 1284   E.wex 1421   e. wcel 1433   C_ wss 2973   (/)c0 3251   U.cuni 3601   Ord word 4117   Lim wlim 4119   suc csuc 4120   omcom 4331

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-iinf 4329

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-uni 3602  df-int 3637  df-tr 3876  df-iord 4121  df-ilim 4124  df-suc 4126  df-iom 4332

This theorem is referenced by: (None)