Theorem peano2b 4355

Description: A class belongs to omega iff its successor does. (Contributed by NM, 3-Dec-1995.)

Assertion

Ref	Expression
peano2b	|- ( A e. om <-> suc A e. om )

Proof of Theorem peano2b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2 4336	. 2 |- ( A e. om -> suc A e. om )
2		elex 2610	. . . . 5 |- ( suc A e. om -> suc A e. _V )
3		sucexb 4241	. . . . 5 |- ( A e. _V <-> suc A e. _V )
4	2, 3	sylibr 132	. . . 4 |- ( suc A e. om -> A e. _V )
5		sucidg 4171	. . . 4 |- ( A e. _V -> A e. suc A )
6	4, 5	syl 14	. . 3 |- ( suc A e. om -> A e. suc A )
7		elnn 4346	. . 3 |- ( ( A e. suc A /\ suc A e. om ) -> A e. om )
8	6, 7	mpancom 413	. 2 |- ( suc A e. om -> A e. om )
9	1, 8	impbii 124	1 |- ( A e. om <-> suc A e. om )

Syntax hints:   <-> wb 103   e. wcel 1433   _Vcvv 2601   suc csuc 4120   omcom 4331

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-iinf 4329

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-uni 3602  df-int 3637  df-suc 4126  df-iom 4332

This theorem is referenced by:  nnmsucr  6090