Theorem lt0ne0d 7614

Description: Something less than zero is not zero. Deduction form. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
lt0ne0d.1	|- ( ph -> A < 0 )

Assertion

Ref	Expression
lt0ne0d	|- ( ph -> A =/= 0 )

Proof of Theorem lt0ne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt0ne0d.1	. 2 |- ( ph -> A < 0 )
2		0re 7119	. . . . 5 |- 0 e. RR
3	2	ltnri 7203	. . . 4 |- -. 0 < 0
4		breq1 3788	. . . 4 |- ( A = 0 -> ( A < 0 <-> 0 < 0 ) )
5	3, 4	mtbiri 632	. . 3 |- ( A = 0 -> -. A < 0 )
6	5	necon2ai 2299	. 2 |- ( A < 0 -> A =/= 0 )
7	1, 6	syl 14	1 |- ( ph -> A =/= 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1284   =/= wne 2245   class class class wbr 3785   0cc0 6981   < clt 7153

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1re 7070  ax-addrcl 7073  ax-rnegex 7085  ax-pre-ltirr 7088

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-rab 2357  df-v 2603  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-xp 4369  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-ltxr 7158

This theorem is referenced by:  divalglemeuneg  10323