Theorem ltleletr 7193

Description: Transitive law, weaker form of ( A < B /\ B <_ C ) -> A < C. (Contributed by AV, 14-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ltleletr	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A < B /\ B <_ C ) -> A <_ C ) )

Proof of Theorem ltleletr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lttr 7185	. . . . . 6 |- ( ( C e. RR /\ A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( C < A /\ A < B ) -> C < B ) )
2	1	3coml 1145	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( C < A /\ A < B ) -> C < B ) )
3	2	expcomd 1370	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A < B -> ( C < A -> C < B ) ) )
4		con3 603	. . . 4 |- ( ( C < A -> C < B ) -> ( -. C < B -> -. C < A ) )
5	3, 4	syl6 33	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A < B -> ( -. C < B -> -. C < A ) ) )
6		lenlt 7187	. . . . 5 |- ( ( B e. RR /\ C e. RR ) -> ( B <_ C <-> -. C < B ) )
7	6	3adant1 956	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( B <_ C <-> -. C < B ) )
8		lenlt 7187	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ C e. RR ) -> ( A <_ C <-> -. C < A ) )
9	8	3adant2 957	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A <_ C <-> -. C < A ) )
10	7, 9	imbi12d 232	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( B <_ C -> A <_ C ) <-> ( -. C < B -> -. C < A ) ) )
11	5, 10	sylibrd 167	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A < B -> ( B <_ C -> A <_ C ) ) )
12	11	impd 251	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A < B /\ B <_ C ) -> A <_ C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   /\ w3a 919   e. wcel 1433   class class class wbr 3785   RRcr 6980   < clt 7153   <_ cle 7154

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-pre-lttrn 7090

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-rab 2357  df-v 2603  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-xp 4369  df-cnv 4371  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159

This theorem is referenced by:  nn0ge2m1nn  8348  lbzbi  8701