Theorem nn0ge2m1nn 8348

Description: If a nonnegative integer is greater than or equal to two, the integer decreased by 1 is a positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Aug-2018.) (Revised by AV, 4-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge2m1nn	|- ( ( N e. NN0 /\ 2 <_ N ) -> ( N - 1 ) e. NN )

Proof of Theorem nn0ge2m1nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 107	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ 2 <_ N ) -> N e. NN0 )
2		1red 7134	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> 1 e. RR )
3		2re 8109	. . . . . . . . 9 |- 2 e. RR
4	3	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> 2 e. RR )
5		nn0re 8297	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
6	2, 4, 5	3jca 1118	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( 1 e. RR /\ 2 e. RR /\ N e. RR ) )
7	6	adantr 270	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ 2 <_ N ) -> ( 1 e. RR /\ 2 e. RR /\ N e. RR ) )
8		simpr 108	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ 2 <_ N ) -> 2 <_ N )
9		1lt2 8201	. . . . . . 7 |- 1 < 2
10	8, 9	jctil 305	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ 2 <_ N ) -> ( 1 < 2 /\ 2 <_ N ) )
11		ltleletr 7193	. . . . . 6 |- ( ( 1 e. RR /\ 2 e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( 1 < 2 /\ 2 <_ N ) -> 1 <_ N ) )
12	7, 10, 11	sylc 61	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ 2 <_ N ) -> 1 <_ N )
13		elnnnn0c 8333	. . . . 5 |- ( N e. NN <-> ( N e. NN0 /\ 1 <_ N ) )
14	1, 12, 13	sylanbrc 408	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ 2 <_ N ) -> N e. NN )
15		nn1m1nn 8057	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( N = 1 \/ ( N - 1 ) e. NN ) )
16	14, 15	syl 14	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ 2 <_ N ) -> ( N = 1 \/ ( N - 1 ) e. NN ) )
17		1re 7118	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. RR
18	3, 17	lenlti 7211	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 <_ 1 <-> -. 1 < 2 )
19	18	biimpi 118	. . . . . . . . 9 |- ( 2 <_ 1 -> -. 1 < 2 )
20	9, 19	mt2 601	. . . . . . . 8 |- -. 2 <_ 1
21		breq2 3789	. . . . . . . 8 |- ( N = 1 -> ( 2 <_ N <-> 2 <_ 1 ) )
22	20, 21	mtbiri 632	. . . . . . 7 |- ( N = 1 -> -. 2 <_ N )
23	22	pm2.21d 581	. . . . . 6 |- ( N = 1 -> ( 2 <_ N -> ( N - 1 ) e. NN ) )
24	23	com12 30	. . . . 5 |- ( 2 <_ N -> ( N = 1 -> ( N - 1 ) e. NN ) )
25	24	adantl 271	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ 2 <_ N ) -> ( N = 1 -> ( N - 1 ) e. NN ) )
26	25	orim1d 733	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ 2 <_ N ) -> ( ( N = 1 \/ ( N - 1 ) e. NN ) -> ( ( N - 1 ) e. NN \/ ( N - 1 ) e. NN ) ) )
27	16, 26	mpd 13	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ 2 <_ N ) -> ( ( N - 1 ) e. NN \/ ( N - 1 ) e. NN ) )
28		oridm 706	. 2 |- ( ( ( N - 1 ) e. NN \/ ( N - 1 ) e. NN ) <-> ( N - 1 ) e. NN )
29	27, 28	sylib 120	1 |- ( ( N e. NN0 /\ 2 <_ N ) -> ( N - 1 ) e. NN )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102   \/ wo 661   /\ w3a 919   = wceq 1284   e. wcel 1433   class class class wbr 3785  (class class class)co 5532   RRcr 6980   1c1 6982   < clt 7153   <_ cle 7154   - cmin 7279   NNcn 8039   2c2 8089   NN0cn0 8288

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-addcom 7076  ax-addass 7078  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-ltadd 7092

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-br 3786  df-opab 3840  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-inn 8040  df-2 8098  df-n0 8289

This theorem is referenced by:  nn0ge2m1nn0  8349