Theorem ltpiord 6509

Description: Positive integer 'less than' in terms of ordinal membership. (Contributed by NM, 6-Feb-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ltpiord	|- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A <N B <-> A e. B ) )

Proof of Theorem ltpiord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-lti 6497	. . 3 |- <N = ( _E i^i ( N. X. N. ) )
2	1	breqi 3791	. 2 |- ( A <N B <-> A ( _E i^i ( N. X. N. ) ) B )
3		brinxp 4426	. . 3 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A _E B <-> A ( _E i^i ( N. X. N. ) ) B ) )
4		epelg 4045	. . . 4 |- ( B e. N. -> ( A _E B <-> A e. B ) )
5	4	adantl 271	. . 3 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A _E B <-> A e. B ) )
6	3, 5	bitr3d 188	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A ( _E i^i ( N. X. N. ) ) B <-> A e. B ) )
7	2, 6	syl5bb 190	1 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A <N B <-> A e. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   e. wcel 1433   i^i cin 2972   class class class wbr 3785   _E cep 4042   X. cxp 4361   N.cnpi 6462   <N clti 6465

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-br 3786  df-opab 3840  df-eprel 4044  df-xp 4369  df-lti 6497

This theorem is referenced by:  ltsopi  6510  pitric  6511  pitri3or  6512  ltdcpi  6513  ltexpi  6527  ltapig  6528  ltmpig  6529  1lt2pi  6530  nlt1pig  6531  archnqq  6607  prarloclemarch2  6609  prarloclemlt  6683  prarloclemn  6689