Theorem prarloclemarch2 6609

Description: Like prarloclemarch 6608 but the integer must be at least two, and there is also B added to the right hand side. These details follow straightforwardly but are chosen to be helpful in the proof of prarloc 6693. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prarloclemarch2	|- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q. ) -> E. x e. N. ( 1o <N x /\ A <Q ( B +Q ( [ <. x , 1o >. ] ~Q .Q C ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, C

Proof of Theorem prarloclemarch2

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prarloclemarch 6608	. . 3 |- ( ( A e. Q. /\ C e. Q. ) -> E. z e. N. A <Q ( [ <. z , 1o >. ] ~Q .Q C ) )
2	1	3adant2 957	. 2 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q. ) -> E. z e. N. A <Q ( [ <. z , 1o >. ] ~Q .Q C ) )
3		pinn 6499	. . . . . . . 8 |- ( z e. N. -> z e. om )
4		1pi 6505	. . . . . . . . . . . 12 |- 1o e. N.
5	4	elexi 2611	. . . . . . . . . . 11 |- 1o e. _V
6	5	sucid 4172	. . . . . . . . . 10 |- 1o e. suc 1o
7		df-2o 6025	. . . . . . . . . 10 |- 2o = suc 1o
8	6, 7	eleqtrri 2154	. . . . . . . . 9 |- 1o e. 2o
9		2onn 6117	. . . . . . . . . . 11 |- 2o e. om
10		nnaword2 6110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2o e. om /\ z e. om ) -> 2o C_ ( z +o 2o ) )
11	9, 10	mpan 414	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. om -> 2o C_ ( z +o 2o ) )
12	11	sseld 2998	. . . . . . . . 9 |- ( z e. om -> ( 1o e. 2o -> 1o e. ( z +o 2o ) ) )
13	8, 12	mpi 15	. . . . . . . 8 |- ( z e. om -> 1o e. ( z +o 2o ) )
14	3, 13	syl 14	. . . . . . 7 |- ( z e. N. -> 1o e. ( z +o 2o ) )
15		o1p1e2 6071	. . . . . . . . 9 |- ( 1o +o 1o ) = 2o
16		addpiord 6506	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1o e. N. /\ 1o e. N. ) -> ( 1o +N 1o ) = ( 1o +o 1o ) )
17	4, 4, 16	mp2an 416	. . . . . . . . . 10 |- ( 1o +N 1o ) = ( 1o +o 1o )
18		addclpi 6517	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1o e. N. /\ 1o e. N. ) -> ( 1o +N 1o ) e. N. )
19	4, 4, 18	mp2an 416	. . . . . . . . . 10 |- ( 1o +N 1o ) e. N.
20	17, 19	eqeltrri 2152	. . . . . . . . 9 |- ( 1o +o 1o ) e. N.
21	15, 20	eqeltrri 2152	. . . . . . . 8 |- 2o e. N.
22		addpiord 6506	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. N. /\ 2o e. N. ) -> ( z +N 2o ) = ( z +o 2o ) )
23	21, 22	mpan2 415	. . . . . . 7 |- ( z e. N. -> ( z +N 2o ) = ( z +o 2o ) )
24	14, 23	eleqtrrd 2158	. . . . . 6 |- ( z e. N. -> 1o e. ( z +N 2o ) )
25		addclpi 6517	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. N. /\ 2o e. N. ) -> ( z +N 2o ) e. N. )
26	21, 25	mpan2 415	. . . . . . 7 |- ( z e. N. -> ( z +N 2o ) e. N. )
27		ltpiord 6509	. . . . . . . 8 |- ( ( 1o e. N. /\ ( z +N 2o ) e. N. ) -> ( 1o <N ( z +N 2o ) <-> 1o e. ( z +N 2o ) ) )
28	4, 27	mpan 414	. . . . . . 7 |- ( ( z +N 2o ) e. N. -> ( 1o <N ( z +N 2o ) <-> 1o e. ( z +N 2o ) ) )
29	26, 28	syl 14	. . . . . 6 |- ( z e. N. -> ( 1o <N ( z +N 2o ) <-> 1o e. ( z +N 2o ) ) )
30	24, 29	mpbird 165	. . . . 5 |- ( z e. N. -> 1o <N ( z +N 2o ) )
31	30	adantl 271	. . . 4 |- ( ( ( A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q. ) /\ z e. N. ) -> 1o <N ( z +N 2o ) )
32	31	adantrr 462	. . 3 |- ( ( ( A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q. ) /\ ( z e. N. /\ A <Q ( [ <. z , 1o >. ] ~Q .Q C ) ) ) -> 1o <N ( z +N 2o ) )
33		nna0 6076	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z e. om -> ( z +o (/) ) = z )
34		0lt1o 6046	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (/) e. 1o
35		1on 6031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 1o e. On
36	35	onsuci 4260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- suc 1o e. On
37		ontr1 4144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( suc 1o e. On -> ( ( (/) e. 1o /\ 1o e. suc 1o ) -> (/) e. suc 1o ) )
38	36, 37	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( (/) e. 1o /\ 1o e. suc 1o ) -> (/) e. suc 1o )
39	34, 6, 38	mp2an 416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (/) e. suc 1o
40	39, 7	eleqtrri 2154	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (/) e. 2o
41		nnaordi 6104	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 2o e. om /\ z e. om ) -> ( (/) e. 2o -> ( z +o (/) ) e. ( z +o 2o ) ) )
42	9, 41	mpan 414	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. om -> ( (/) e. 2o -> ( z +o (/) ) e. ( z +o 2o ) ) )
43	40, 42	mpi 15	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z e. om -> ( z +o (/) ) e. ( z +o 2o ) )
44	33, 43	eqeltrrd 2156	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z e. om -> z e. ( z +o 2o ) )
45	3, 44	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. N. -> z e. ( z +o 2o ) )
46	45, 23	eleqtrrd 2158	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. N. -> z e. ( z +N 2o ) )
47		ltpiord 6509	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z e. N. /\ ( z +N 2o ) e. N. ) -> ( z <N ( z +N 2o ) <-> z e. ( z +N 2o ) ) )
48	26, 47	mpdan 412	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. N. -> ( z <N ( z +N 2o ) <-> z e. ( z +N 2o ) ) )
49	46, 48	mpbird 165	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. N. -> z <N ( z +N 2o ) )
50		mulidpi 6508	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. N. -> ( z .N 1o ) = z )
51		mulcompig 6521	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( z +N 2o ) e. N. /\ 1o e. N. ) -> ( ( z +N 2o ) .N 1o ) = ( 1o .N ( z +N 2o ) ) )
52	4, 51	mpan2 415	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z +N 2o ) e. N. -> ( ( z +N 2o ) .N 1o ) = ( 1o .N ( z +N 2o ) ) )
53	26, 52	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. N. -> ( ( z +N 2o ) .N 1o ) = ( 1o .N ( z +N 2o ) ) )
54		mulidpi 6508	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z +N 2o ) e. N. -> ( ( z +N 2o ) .N 1o ) = ( z +N 2o ) )
55	26, 54	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. N. -> ( ( z +N 2o ) .N 1o ) = ( z +N 2o ) )
56	53, 55	eqtr3d 2115	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. N. -> ( 1o .N ( z +N 2o ) ) = ( z +N 2o ) )
57	49, 50, 56	3brtr4d 3815	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. N. -> ( z .N 1o ) <N ( 1o .N ( z +N 2o ) ) )
58		ordpipqqs 6564	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( z e. N. /\ 1o e. N. ) /\ ( ( z +N 2o ) e. N. /\ 1o e. N. ) ) -> ( [ <. z , 1o >. ] ~Q <Q [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q <-> ( z .N 1o ) <N ( 1o .N ( z +N 2o ) ) ) )
59	4, 58	mpanl2 425	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. N. /\ ( ( z +N 2o ) e. N. /\ 1o e. N. ) ) -> ( [ <. z , 1o >. ] ~Q <Q [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q <-> ( z .N 1o ) <N ( 1o .N ( z +N 2o ) ) ) )
60	4, 59	mpanr2 428	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. N. /\ ( z +N 2o ) e. N. ) -> ( [ <. z , 1o >. ] ~Q <Q [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q <-> ( z .N 1o ) <N ( 1o .N ( z +N 2o ) ) ) )
61	26, 60	mpdan 412	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. N. -> ( [ <. z , 1o >. ] ~Q <Q [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q <-> ( z .N 1o ) <N ( 1o .N ( z +N 2o ) ) ) )
62	57, 61	mpbird 165	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. N. -> [ <. z , 1o >. ] ~Q <Q [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q )
63	62	adantl 271	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. Q. /\ z e. N. ) -> [ <. z , 1o >. ] ~Q <Q [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q )
64		opelxpi 4394	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( z +N 2o ) e. N. /\ 1o e. N. ) -> <. ( z +N 2o ) , 1o >. e. ( N. X. N. ) )
65	4, 64	mpan2 415	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z +N 2o ) e. N. -> <. ( z +N 2o ) , 1o >. e. ( N. X. N. ) )
66		enqex 6550	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ~Q e. _V
67	66	ecelqsi 6183	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( <. ( z +N 2o ) , 1o >. e. ( N. X. N. ) -> [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
68	26, 65, 67	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. N. -> [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
69		df-nqqs 6538	. . . . . . . . . . . . . 14 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
70	68, 69	syl6eleqr 2172	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. N. -> [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q e. Q. )
71		opelxpi 4394	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z e. N. /\ 1o e. N. ) -> <. z , 1o >. e. ( N. X. N. ) )
72	4, 71	mpan2 415	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z e. N. -> <. z , 1o >. e. ( N. X. N. ) )
73	66	ecelqsi 6183	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( <. z , 1o >. e. ( N. X. N. ) -> [ <. z , 1o >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
74	72, 73	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. N. -> [ <. z , 1o >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
75	74, 69	syl6eleqr 2172	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. N. -> [ <. z , 1o >. ] ~Q e. Q. )
76		ltmnqg 6591	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( [ <. z , 1o >. ] ~Q e. Q. /\ [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q e. Q. /\ C e. Q. ) -> ( [ <. z , 1o >. ] ~Q <Q [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q <-> ( C .Q [ <. z , 1o >. ] ~Q ) <Q ( C .Q [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q ) ) )
77	75, 76	syl3an1 1202	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. N. /\ [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q e. Q. /\ C e. Q. ) -> ( [ <. z , 1o >. ] ~Q <Q [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q <-> ( C .Q [ <. z , 1o >. ] ~Q ) <Q ( C .Q [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q ) ) )
78	70, 77	syl3an2 1203	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. N. /\ z e. N. /\ C e. Q. ) -> ( [ <. z , 1o >. ] ~Q <Q [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q <-> ( C .Q [ <. z , 1o >. ] ~Q ) <Q ( C .Q [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q ) ) )
79	78	3anidm12 1226	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. N. /\ C e. Q. ) -> ( [ <. z , 1o >. ] ~Q <Q [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q <-> ( C .Q [ <. z , 1o >. ] ~Q ) <Q ( C .Q [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q ) ) )
80	79	ancoms 264	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. Q. /\ z e. N. ) -> ( [ <. z , 1o >. ] ~Q <Q [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q <-> ( C .Q [ <. z , 1o >. ] ~Q ) <Q ( C .Q [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q ) ) )
81	63, 80	mpbid 145	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. Q. /\ z e. N. ) -> ( C .Q [ <. z , 1o >. ] ~Q ) <Q ( C .Q [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q ) )
82		mulcomnqg 6573	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. Q. /\ [ <. z , 1o >. ] ~Q e. Q. ) -> ( C .Q [ <. z , 1o >. ] ~Q ) = ( [ <. z , 1o >. ] ~Q .Q C ) )
83	75, 82	sylan2 280	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. Q. /\ z e. N. ) -> ( C .Q [ <. z , 1o >. ] ~Q ) = ( [ <. z , 1o >. ] ~Q .Q C ) )
84		mulcomnqg 6573	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. Q. /\ [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q e. Q. ) -> ( C .Q [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q ) = ( [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q C ) )
85	70, 84	sylan2 280	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. Q. /\ z e. N. ) -> ( C .Q [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q ) = ( [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q C ) )
86	81, 83, 85	3brtr3d 3814	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. Q. /\ z e. N. ) -> ( [ <. z , 1o >. ] ~Q .Q C ) <Q ( [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q C ) )
87	86	3ad2antl3 1102	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q. ) /\ z e. N. ) -> ( [ <. z , 1o >. ] ~Q .Q C ) <Q ( [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q C ) )
88	87	adantrr 462	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q. ) /\ ( z e. N. /\ A <Q ( [ <. z , 1o >. ] ~Q .Q C ) ) ) -> ( [ <. z , 1o >. ] ~Q .Q C ) <Q ( [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q C ) )
89		ltsonq 6588	. . . . . . . . . 10 |- <Q Or Q.
90		ltrelnq 6555	. . . . . . . . . 10 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
91	89, 90	sotri 4740	. . . . . . . . 9 |- ( ( A <Q ( [ <. z , 1o >. ] ~Q .Q C ) /\ ( [ <. z , 1o >. ] ~Q .Q C ) <Q ( [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q C ) ) -> A <Q ( [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q C ) )
92	91	ex 113	. . . . . . . 8 |- ( A <Q ( [ <. z , 1o >. ] ~Q .Q C ) -> ( ( [ <. z , 1o >. ] ~Q .Q C ) <Q ( [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q C ) -> A <Q ( [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q C ) ) )
93	92	adantl 271	. . . . . . 7 |- ( ( z e. N. /\ A <Q ( [ <. z , 1o >. ] ~Q .Q C ) ) -> ( ( [ <. z , 1o >. ] ~Q .Q C ) <Q ( [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q C ) -> A <Q ( [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q C ) ) )
94	93	adantl 271	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q. ) /\ ( z e. N. /\ A <Q ( [ <. z , 1o >. ] ~Q .Q C ) ) ) -> ( ( [ <. z , 1o >. ] ~Q .Q C ) <Q ( [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q C ) -> A <Q ( [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q C ) ) )
95	88, 94	mpd 13	. . . . 5 |- ( ( ( A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q. ) /\ ( z e. N. /\ A <Q ( [ <. z , 1o >. ] ~Q .Q C ) ) ) -> A <Q ( [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q C ) )
96		mulclnq 6566	. . . . . . . . . 10 |- ( ( [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q e. Q. /\ C e. Q. ) -> ( [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q C ) e. Q. )
97	70, 96	sylan 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. N. /\ C e. Q. ) -> ( [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q C ) e. Q. )
98	97	ancoms 264	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. Q. /\ z e. N. ) -> ( [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q C ) e. Q. )
99	98	3ad2antl3 1102	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q. ) /\ z e. N. ) -> ( [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q C ) e. Q. )
100		simpl2 942	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q. ) /\ z e. N. ) -> B e. Q. )
101		ltaddnq 6597	. . . . . . 7 |- ( ( ( [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q C ) e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q C ) <Q ( ( [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q C ) +Q B ) )
102	99, 100, 101	syl2anc 403	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q. ) /\ z e. N. ) -> ( [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q C ) <Q ( ( [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q C ) +Q B ) )
103	102	adantrr 462	. . . . 5 |- ( ( ( A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q. ) /\ ( z e. N. /\ A <Q ( [ <. z , 1o >. ] ~Q .Q C ) ) ) -> ( [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q C ) <Q ( ( [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q C ) +Q B ) )
104	89, 90	sotri 4740	. . . . 5 |- ( ( A <Q ( [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q C ) /\ ( [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q C ) <Q ( ( [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q C ) +Q B ) ) -> A <Q ( ( [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q C ) +Q B ) )
105	95, 103, 104	syl2anc 403	. . . 4 |- ( ( ( A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q. ) /\ ( z e. N. /\ A <Q ( [ <. z , 1o >. ] ~Q .Q C ) ) ) -> A <Q ( ( [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q C ) +Q B ) )
106		addcomnqg 6571	. . . . . . 7 |- ( ( ( [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q C ) e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( ( [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q C ) +Q B ) = ( B +Q ( [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q C ) ) )
107	99, 100, 106	syl2anc 403	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q. ) /\ z e. N. ) -> ( ( [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q C ) +Q B ) = ( B +Q ( [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q C ) ) )
108	107	breq2d 3797	. . . . 5 |- ( ( ( A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q. ) /\ z e. N. ) -> ( A <Q ( ( [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q C ) +Q B ) <-> A <Q ( B +Q ( [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q C ) ) ) )
109	108	adantrr 462	. . . 4 |- ( ( ( A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q. ) /\ ( z e. N. /\ A <Q ( [ <. z , 1o >. ] ~Q .Q C ) ) ) -> ( A <Q ( ( [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q C ) +Q B ) <-> A <Q ( B +Q ( [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q C ) ) ) )
110	105, 109	mpbid 145	. . 3 |- ( ( ( A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q. ) /\ ( z e. N. /\ A <Q ( [ <. z , 1o >. ] ~Q .Q C ) ) ) -> A <Q ( B +Q ( [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q C ) ) )
111		simpr 108	. . . . 5 |- ( ( ( A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q. ) /\ z e. N. ) -> z e. N. )
112		breq2 3789	. . . . . . . 8 |- ( x = ( z +N 2o ) -> ( 1o <N x <-> 1o <N ( z +N 2o ) ) )
113		opeq1 3570	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( z +N 2o ) -> <. x , 1o >. = <. ( z +N 2o ) , 1o >. )
114	113	eceq1d 6165	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( z +N 2o ) -> [ <. x , 1o >. ] ~Q = [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q )
115	114	oveq1d 5547	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( z +N 2o ) -> ( [ <. x , 1o >. ] ~Q .Q C ) = ( [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q C ) )
116	115	oveq2d 5548	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( z +N 2o ) -> ( B +Q ( [ <. x , 1o >. ] ~Q .Q C ) ) = ( B +Q ( [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q C ) ) )
117	116	breq2d 3797	. . . . . . . 8 |- ( x = ( z +N 2o ) -> ( A <Q ( B +Q ( [ <. x , 1o >. ] ~Q .Q C ) ) <-> A <Q ( B +Q ( [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q C ) ) ) )
118	112, 117	anbi12d 456	. . . . . . 7 |- ( x = ( z +N 2o ) -> ( ( 1o <N x /\ A <Q ( B +Q ( [ <. x , 1o >. ] ~Q .Q C ) ) ) <-> ( 1o <N ( z +N 2o ) /\ A <Q ( B +Q ( [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q C ) ) ) ) )
119	118	rspcev 2701	. . . . . 6 |- ( ( ( z +N 2o ) e. N. /\ ( 1o <N ( z +N 2o ) /\ A <Q ( B +Q ( [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q C ) ) ) ) -> E. x e. N. ( 1o <N x /\ A <Q ( B +Q ( [ <. x , 1o >. ] ~Q .Q C ) ) ) )
120	119	ex 113	. . . . 5 |- ( ( z +N 2o ) e. N. -> ( ( 1o <N ( z +N 2o ) /\ A <Q ( B +Q ( [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q C ) ) ) -> E. x e. N. ( 1o <N x /\ A <Q ( B +Q ( [ <. x , 1o >. ] ~Q .Q C ) ) ) ) )
121	111, 26, 120	3syl 17	. . . 4 |- ( ( ( A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q. ) /\ z e. N. ) -> ( ( 1o <N ( z +N 2o ) /\ A <Q ( B +Q ( [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q C ) ) ) -> E. x e. N. ( 1o <N x /\ A <Q ( B +Q ( [ <. x , 1o >. ] ~Q .Q C ) ) ) ) )
122	121	adantrr 462	. . 3 |- ( ( ( A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q. ) /\ ( z e. N. /\ A <Q ( [ <. z , 1o >. ] ~Q .Q C ) ) ) -> ( ( 1o <N ( z +N 2o ) /\ A <Q ( B +Q ( [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q C ) ) ) -> E. x e. N. ( 1o <N x /\ A <Q ( B +Q ( [ <. x , 1o >. ] ~Q .Q C ) ) ) ) )
123	32, 110, 122	mp2and 423	. 2 |- ( ( ( A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q. ) /\ ( z e. N. /\ A <Q ( [ <. z , 1o >. ] ~Q .Q C ) ) ) -> E. x e. N. ( 1o <N x /\ A <Q ( B +Q ( [ <. x , 1o >. ] ~Q .Q C ) ) ) )
124	2, 123	rexlimddv 2481	1 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q. ) -> E. x e. N. ( 1o <N x /\ A <Q ( B +Q ( [ <. x , 1o >. ] ~Q .Q C ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   /\ w3a 919   = wceq 1284   e. wcel 1433   E.wrex 2349   C_ wss 2973   (/)c0 3251   <.cop 3401   class class class wbr 3785   Oncon0 4118   suc csuc 4120   omcom 4331   X. cxp 4361  (class class class)co 5532   1oc1o 6017   2oc2o 6018   +o coa 6021   [cec 6127   /.cqs 6128   N.cnpi 6462   +N cpli 6463   .N cmi 6464   <N clti 6465   ~Q ceq 6469   Q.cnq 6470   +Q cplq 6472   .Q cmq 6473   <Q cltq 6475

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-eprel 4044  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-irdg 5980  df-1o 6024  df-2o 6025  df-oadd 6028  df-omul 6029  df-er 6129  df-ec 6131  df-qs 6135  df-ni 6494  df-pli 6495  df-mi 6496  df-lti 6497  df-plpq 6534  df-mpq 6535  df-enq 6537  df-nqqs 6538  df-plqqs 6539  df-mqqs 6540  df-1nqqs 6541  df-rq 6542  df-ltnqqs 6543

This theorem is referenced by:  prarloc  6693