Theorem monoord2 9456

Description: Ordering relation for a monotonic sequence, decreasing case. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
monoord2.1	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
monoord2.2	|- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( F ` k ) e. RR )
monoord2.3	|- ( ( ph /\ k e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( F ` k ) )

Assertion

Ref	Expression
monoord2	|- ( ph -> ( F ` N ) <_ ( F ` M ) )

Distinct variable groups:   k, F   k, M   k, N   ph, k

Proof of Theorem monoord2

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		monoord2.1	. . . 4 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		monoord2.2	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( F ` k ) e. RR )
3	2	renegcld 7484	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> -u ( F ` k ) e. RR )
4		eqid 2081	. . . . . 6 |- ( k e. ( M ... N ) |-> -u ( F ` k ) ) = ( k e. ( M ... N ) |-> -u ( F ` k ) )
5	3, 4	fmptd 5343	. . . . 5 |- ( ph -> ( k e. ( M ... N ) |-> -u ( F ` k ) ) : ( M ... N ) --> RR )
6	5	ffvelrnda 5323	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( M ... N ) ) -> ( ( k e. ( M ... N ) |-> -u ( F ` k ) ) ` n ) e. RR )
7		monoord2.3	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( F ` k ) )
8	7	ralrimiva 2434	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. k e. ( M ... ( N - 1 ) ) ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( F ` k ) )
9		oveq1 5539	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = n -> ( k + 1 ) = ( n + 1 ) )
10	9	fveq2d 5202	. . . . . . . . . 10 |- ( k = n -> ( F ` ( k + 1 ) ) = ( F ` ( n + 1 ) ) )
11		fveq2 5198	. . . . . . . . . 10 |- ( k = n -> ( F ` k ) = ( F ` n ) )
12	10, 11	breq12d 3798	. . . . . . . . 9 |- ( k = n -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( F ` k ) <-> ( F ` ( n + 1 ) ) <_ ( F ` n ) ) )
13	12	cbvralv 2577	. . . . . . . 8 |- ( A. k e. ( M ... ( N - 1 ) ) ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( F ` k ) <-> A. n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ( F ` ( n + 1 ) ) <_ ( F ` n ) )
14	8, 13	sylib 120	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ( F ` ( n + 1 ) ) <_ ( F ` n ) )
15	14	r19.21bi 2449	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) <_ ( F ` n ) )
16		fzp1elp1 9092	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( M ... ( N - 1 ) ) -> ( n + 1 ) e. ( M ... ( ( N - 1 ) + 1 ) ) )
17	16	adantl 271	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> ( n + 1 ) e. ( M ... ( ( N - 1 ) + 1 ) ) )
18		eluzelz 8628	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
19	1, 18	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> N e. ZZ )
20	19	zcnd 8470	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> N e. CC )
21		ax-1cn 7069	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. CC
22		npcan 7317	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
23	20, 21, 22	sylancl 404	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
24	23	oveq2d 5548	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( M ... ( ( N - 1 ) + 1 ) ) = ( M ... N ) )
25	24	adantr 270	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> ( M ... ( ( N - 1 ) + 1 ) ) = ( M ... N ) )
26	17, 25	eleqtrd 2157	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> ( n + 1 ) e. ( M ... N ) )
27	2	ralrimiva 2434	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) e. RR )
28	27	adantr 270	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) e. RR )
29		fveq2 5198	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( F ` k ) = ( F ` ( n + 1 ) ) )
30	29	eleq1d 2147	. . . . . . . . 9 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( ( F ` k ) e. RR <-> ( F ` ( n + 1 ) ) e. RR ) )
31	30	rspcv 2697	. . . . . . . 8 |- ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) e. RR -> ( F ` ( n + 1 ) ) e. RR ) )
32	26, 28, 31	sylc 61	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) e. RR )
33		fzssp1 9085	. . . . . . . . . 10 |- ( M ... ( N - 1 ) ) C_ ( M ... ( ( N - 1 ) + 1 ) )
34	33, 24	syl5sseq 3047	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( M ... ( N - 1 ) ) C_ ( M ... N ) )
35	34	sselda 2999	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> n e. ( M ... N ) )
36	11	eleq1d 2147	. . . . . . . . 9 |- ( k = n -> ( ( F ` k ) e. RR <-> ( F ` n ) e. RR ) )
37	36	rspcv 2697	. . . . . . . 8 |- ( n e. ( M ... N ) -> ( A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) e. RR -> ( F ` n ) e. RR ) )
38	35, 28, 37	sylc 61	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> ( F ` n ) e. RR )
39	32, 38	lenegd 7624	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( F ` ( n + 1 ) ) <_ ( F ` n ) <-> -u ( F ` n ) <_ -u ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
40	15, 39	mpbid 145	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> -u ( F ` n ) <_ -u ( F ` ( n + 1 ) ) )
41	38	renegcld 7484	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> -u ( F ` n ) e. RR )
42	11	negeqd 7303	. . . . . . 7 |- ( k = n -> -u ( F ` k ) = -u ( F ` n ) )
43	42, 4	fvmptg 5269	. . . . . 6 |- ( ( n e. ( M ... N ) /\ -u ( F ` n ) e. RR ) -> ( ( k e. ( M ... N ) |-> -u ( F ` k ) ) ` n ) = -u ( F ` n ) )
44	35, 41, 43	syl2anc 403	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( k e. ( M ... N ) |-> -u ( F ` k ) ) ` n ) = -u ( F ` n ) )
45	32	renegcld 7484	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> -u ( F ` ( n + 1 ) ) e. RR )
46	29	negeqd 7303	. . . . . . 7 |- ( k = ( n + 1 ) -> -u ( F ` k ) = -u ( F ` ( n + 1 ) ) )
47	46, 4	fvmptg 5269	. . . . . 6 |- ( ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) /\ -u ( F ` ( n + 1 ) ) e. RR ) -> ( ( k e. ( M ... N ) |-> -u ( F ` k ) ) ` ( n + 1 ) ) = -u ( F ` ( n + 1 ) ) )
48	26, 45, 47	syl2anc 403	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( k e. ( M ... N ) |-> -u ( F ` k ) ) ` ( n + 1 ) ) = -u ( F ` ( n + 1 ) ) )
49	40, 44, 48	3brtr4d 3815	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( k e. ( M ... N ) |-> -u ( F ` k ) ) ` n ) <_ ( ( k e. ( M ... N ) |-> -u ( F ` k ) ) ` ( n + 1 ) ) )
50	1, 6, 49	monoord 9455	. . 3 |- ( ph -> ( ( k e. ( M ... N ) |-> -u ( F ` k ) ) ` M ) <_ ( ( k e. ( M ... N ) |-> -u ( F ` k ) ) ` N ) )
51		eluzfz1 9050	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( M ... N ) )
52	1, 51	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> M e. ( M ... N ) )
53		fveq2 5198	. . . . . . . 8 |- ( k = M -> ( F ` k ) = ( F ` M ) )
54	53	eleq1d 2147	. . . . . . 7 |- ( k = M -> ( ( F ` k ) e. RR <-> ( F ` M ) e. RR ) )
55	54	rspcv 2697	. . . . . 6 |- ( M e. ( M ... N ) -> ( A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) e. RR -> ( F ` M ) e. RR ) )
56	52, 27, 55	sylc 61	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ` M ) e. RR )
57	56	renegcld 7484	. . . 4 |- ( ph -> -u ( F ` M ) e. RR )
58	53	negeqd 7303	. . . . 5 |- ( k = M -> -u ( F ` k ) = -u ( F ` M ) )
59	58, 4	fvmptg 5269	. . . 4 |- ( ( M e. ( M ... N ) /\ -u ( F ` M ) e. RR ) -> ( ( k e. ( M ... N ) |-> -u ( F ` k ) ) ` M ) = -u ( F ` M ) )
60	52, 57, 59	syl2anc 403	. . 3 |- ( ph -> ( ( k e. ( M ... N ) |-> -u ( F ` k ) ) ` M ) = -u ( F ` M ) )
61		eluzfz2 9051	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )
62	1, 61	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> N e. ( M ... N ) )
63		fveq2 5198	. . . . . . . 8 |- ( k = N -> ( F ` k ) = ( F ` N ) )
64	63	eleq1d 2147	. . . . . . 7 |- ( k = N -> ( ( F ` k ) e. RR <-> ( F ` N ) e. RR ) )
65	64	rspcv 2697	. . . . . 6 |- ( N e. ( M ... N ) -> ( A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) e. RR -> ( F ` N ) e. RR ) )
66	62, 27, 65	sylc 61	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ` N ) e. RR )
67	66	renegcld 7484	. . . 4 |- ( ph -> -u ( F ` N ) e. RR )
68	63	negeqd 7303	. . . . 5 |- ( k = N -> -u ( F ` k ) = -u ( F ` N ) )
69	68, 4	fvmptg 5269	. . . 4 |- ( ( N e. ( M ... N ) /\ -u ( F ` N ) e. RR ) -> ( ( k e. ( M ... N ) |-> -u ( F ` k ) ) ` N ) = -u ( F ` N ) )
70	62, 67, 69	syl2anc 403	. . 3 |- ( ph -> ( ( k e. ( M ... N ) |-> -u ( F ` k ) ) ` N ) = -u ( F ` N ) )
71	50, 60, 70	3brtr3d 3814	. 2 |- ( ph -> -u ( F ` M ) <_ -u ( F ` N ) )
72	66, 56	lenegd 7624	. 2 |- ( ph -> ( ( F ` N ) <_ ( F ` M ) <-> -u ( F ` M ) <_ -u ( F ` N ) ) )
73	71, 72	mpbird 165	1 |- ( ph -> ( F ` N ) <_ ( F ` M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   = wceq 1284   e. wcel 1433   A.wral 2348   class class class wbr 3785   |-> cmpt 3839   ` cfv 4922  (class class class)co 5532   CCcc 6979   RRcr 6980   1c1 6982   + caddc 6984   <_ cle 7154   - cmin 7279   -ucneg 7280   ZZcz 8351   ZZ>=cuz 8619   ...cfz 9029

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-addcom 7076  ax-addass 7078  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-ltadd 7092

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-inn 8040  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620  df-fz 9030

This theorem is referenced by: (None)