Theorem nn0o1gt2 10305

Description: An odd nonnegative integer is either 1 or greater than 2. (Contributed by AV, 2-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nn0o1gt2	|- ( ( N e. NN0 /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( N = 1 \/ 2 < N ) )

Proof of Theorem nn0o1gt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 8290	. . 3 |- ( N e. NN0 <-> ( N e. NN \/ N = 0 ) )
2		elnnnn0c 8333	. . . . 5 |- ( N e. NN <-> ( N e. NN0 /\ 1 <_ N ) )
3		1z 8377	. . . . . . . 8 |- 1 e. ZZ
4		nn0z 8371	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
5		zleloe 8398	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 1 <_ N <-> ( 1 < N \/ 1 = N ) ) )
6	3, 4, 5	sylancr 405	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( 1 <_ N <-> ( 1 < N \/ 1 = N ) ) )
7		1zzd 8378	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN0 -> 1 e. ZZ )
8		zltp1le 8405	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 1 < N <-> ( 1 + 1 ) <_ N ) )
9	7, 4, 8	syl2anc 403	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN0 -> ( 1 < N <-> ( 1 + 1 ) <_ N ) )
10		1p1e2 8155	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1 + 1 ) = 2
11	10	breq1i 3792	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 + 1 ) <_ N <-> 2 <_ N )
12	11	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN0 -> ( ( 1 + 1 ) <_ N <-> 2 <_ N ) )
13		2z 8379	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. ZZ
14		zleloe 8398	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 2 <_ N <-> ( 2 < N \/ 2 = N ) ) )
15	13, 4, 14	sylancr 405	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN0 -> ( 2 <_ N <-> ( 2 < N \/ 2 = N ) ) )
16	9, 12, 15	3bitrd 212	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN0 -> ( 1 < N <-> ( 2 < N \/ 2 = N ) ) )
17		olc 664	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 2 < N -> ( N = 1 \/ 2 < N ) )
18	17	2a1d 23	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 2 < N -> ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 -> ( N = 1 \/ 2 < N ) ) ) )
19		oveq1 5539	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( N = 2 -> ( N + 1 ) = ( 2 + 1 ) )
20	19	oveq1d 5547	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( N = 2 -> ( ( N + 1 ) / 2 ) = ( ( 2 + 1 ) / 2 ) )
21	20	eqcoms 2084	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 2 = N -> ( ( N + 1 ) / 2 ) = ( ( 2 + 1 ) / 2 ) )
22	21	adantl 271	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. NN0 /\ 2 = N ) -> ( ( N + 1 ) / 2 ) = ( ( 2 + 1 ) / 2 ) )
23		2p1e3 8165	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 2 + 1 ) = 3
24	23	oveq1i 5542	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 2 + 1 ) / 2 ) = ( 3 / 2 )
25	22, 24	syl6eq 2129	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. NN0 /\ 2 = N ) -> ( ( N + 1 ) / 2 ) = ( 3 / 2 ) )
26	25	eleq1d 2147	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. NN0 /\ 2 = N ) -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 <-> ( 3 / 2 ) e. NN0 ) )
27		3halfnz 8444	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- -. ( 3 / 2 ) e. ZZ
28		nn0z 8371	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 3 / 2 ) e. NN0 -> ( 3 / 2 ) e. ZZ )
29	28	pm2.24d 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 3 / 2 ) e. NN0 -> ( -. ( 3 / 2 ) e. ZZ -> ( N = 1 \/ 2 < N ) ) )
30	27, 29	mpi 15	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 3 / 2 ) e. NN0 -> ( N = 1 \/ 2 < N ) )
31	26, 30	syl6bi 161	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN0 /\ 2 = N ) -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 -> ( N = 1 \/ 2 < N ) ) )
32	31	expcom 114	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 2 = N -> ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 -> ( N = 1 \/ 2 < N ) ) ) )
33	18, 32	jaoi 668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 < N \/ 2 = N ) -> ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 -> ( N = 1 \/ 2 < N ) ) ) )
34	33	com12 30	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN0 -> ( ( 2 < N \/ 2 = N ) -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 -> ( N = 1 \/ 2 < N ) ) ) )
35	16, 34	sylbid 148	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN0 -> ( 1 < N -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 -> ( N = 1 \/ 2 < N ) ) ) )
36	35	com12 30	. . . . . . . . 9 |- ( 1 < N -> ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 -> ( N = 1 \/ 2 < N ) ) ) )
37		orc 665	. . . . . . . . . . 11 |- ( N = 1 -> ( N = 1 \/ 2 < N ) )
38	37	eqcoms 2084	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 = N -> ( N = 1 \/ 2 < N ) )
39	38	2a1d 23	. . . . . . . . 9 |- ( 1 = N -> ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 -> ( N = 1 \/ 2 < N ) ) ) )
40	36, 39	jaoi 668	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 < N \/ 1 = N ) -> ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 -> ( N = 1 \/ 2 < N ) ) ) )
41	40	com12 30	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( ( 1 < N \/ 1 = N ) -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 -> ( N = 1 \/ 2 < N ) ) ) )
42	6, 41	sylbid 148	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( 1 <_ N -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 -> ( N = 1 \/ 2 < N ) ) ) )
43	42	imp 122	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N ) -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 -> ( N = 1 \/ 2 < N ) ) )
44	2, 43	sylbi 119	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 -> ( N = 1 \/ 2 < N ) ) )
45		oveq1 5539	. . . . . . . 8 |- ( N = 0 -> ( N + 1 ) = ( 0 + 1 ) )
46		0p1e1 8153	. . . . . . . 8 |- ( 0 + 1 ) = 1
47	45, 46	syl6eq 2129	. . . . . . 7 |- ( N = 0 -> ( N + 1 ) = 1 )
48	47	oveq1d 5547	. . . . . 6 |- ( N = 0 -> ( ( N + 1 ) / 2 ) = ( 1 / 2 ) )
49	48	eleq1d 2147	. . . . 5 |- ( N = 0 -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 <-> ( 1 / 2 ) e. NN0 ) )
50		halfnz 8443	. . . . . 6 |- -. ( 1 / 2 ) e. ZZ
51		nn0z 8371	. . . . . . 7 |- ( ( 1 / 2 ) e. NN0 -> ( 1 / 2 ) e. ZZ )
52	51	pm2.24d 584	. . . . . 6 |- ( ( 1 / 2 ) e. NN0 -> ( -. ( 1 / 2 ) e. ZZ -> ( N = 1 \/ 2 < N ) ) )
53	50, 52	mpi 15	. . . . 5 |- ( ( 1 / 2 ) e. NN0 -> ( N = 1 \/ 2 < N ) )
54	49, 53	syl6bi 161	. . . 4 |- ( N = 0 -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 -> ( N = 1 \/ 2 < N ) ) )
55	44, 54	jaoi 668	. . 3 |- ( ( N e. NN \/ N = 0 ) -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 -> ( N = 1 \/ 2 < N ) ) )
56	1, 55	sylbi 119	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 -> ( N = 1 \/ 2 < N ) ) )
57	56	imp 122	1 |- ( ( N e. NN0 /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( N = 1 \/ 2 < N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   \/ wo 661   = wceq 1284   e. wcel 1433   class class class wbr 3785  (class class class)co 5532   0cc0 6981   1c1 6982   + caddc 6984   < clt 7153   <_ cle 7154   / cdiv 7760   NNcn 8039   2c2 8089   3c3 8090   NN0cn0 8288   ZZcz 8351

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-mulrcl 7075  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-1rid 7083  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-precex 7086  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092  ax-pre-mulgt0 7093  ax-pre-mulext 7094

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rmo 2356  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-br 3786  df-opab 3840  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-reap 7675  df-ap 7682  df-div 7761  df-inn 8040  df-2 8098  df-3 8099  df-4 8100  df-n0 8289  df-z 8352

This theorem is referenced by:  nno  10306  nn0o  10307