Theorem nnm0r 6081

Description: Multiplication with zero. Exercise 16 of [Enderton] p. 82. (Contributed by NM, 20-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnm0r	|- ( A e. om -> ( (/) .o A ) = (/) )

Proof of Theorem nnm0r

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5540	. . 3 |- ( x = (/) -> ( (/) .o x ) = ( (/) .o (/) ) )
2	1	eqeq1d 2089	. 2 |- ( x = (/) -> ( ( (/) .o x ) = (/) <-> ( (/) .o (/) ) = (/) ) )
3		oveq2 5540	. . 3 |- ( x = y -> ( (/) .o x ) = ( (/) .o y ) )
4	3	eqeq1d 2089	. 2 |- ( x = y -> ( ( (/) .o x ) = (/) <-> ( (/) .o y ) = (/) ) )
5		oveq2 5540	. . 3 |- ( x = suc y -> ( (/) .o x ) = ( (/) .o suc y ) )
6	5	eqeq1d 2089	. 2 |- ( x = suc y -> ( ( (/) .o x ) = (/) <-> ( (/) .o suc y ) = (/) ) )
7		oveq2 5540	. . 3 |- ( x = A -> ( (/) .o x ) = ( (/) .o A ) )
8	7	eqeq1d 2089	. 2 |- ( x = A -> ( ( (/) .o x ) = (/) <-> ( (/) .o A ) = (/) ) )
9		0elon 4147	. . 3 |- (/) e. On
10		om0 6061	. . 3 |- ( (/) e. On -> ( (/) .o (/) ) = (/) )
11	9, 10	ax-mp 7	. 2 |- ( (/) .o (/) ) = (/)
12		oveq1 5539	. . . 4 |- ( ( (/) .o y ) = (/) -> ( ( (/) .o y ) +o (/) ) = ( (/) +o (/) ) )
13		oa0 6060	. . . . 5 |- ( (/) e. On -> ( (/) +o (/) ) = (/) )
14	9, 13	ax-mp 7	. . . 4 |- ( (/) +o (/) ) = (/)
15	12, 14	syl6eq 2129	. . 3 |- ( ( (/) .o y ) = (/) -> ( ( (/) .o y ) +o (/) ) = (/) )
16		peano1 4335	. . . . 5 |- (/) e. om
17		nnmsuc 6079	. . . . 5 |- ( ( (/) e. om /\ y e. om ) -> ( (/) .o suc y ) = ( ( (/) .o y ) +o (/) ) )
18	16, 17	mpan 414	. . . 4 |- ( y e. om -> ( (/) .o suc y ) = ( ( (/) .o y ) +o (/) ) )
19	18	eqeq1d 2089	. . 3 |- ( y e. om -> ( ( (/) .o suc y ) = (/) <-> ( ( (/) .o y ) +o (/) ) = (/) ) )
20	15, 19	syl5ibr 154	. 2 |- ( y e. om -> ( ( (/) .o y ) = (/) -> ( (/) .o suc y ) = (/) ) )
21	2, 4, 6, 8, 11, 20	finds 4341	1 |- ( A e. om -> ( (/) .o A ) = (/) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1284   e. wcel 1433   (/)c0 3251   Oncon0 4118   suc csuc 4120   omcom 4331  (class class class)co 5532   +o coa 6021   .o comu 6022

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-irdg 5980  df-oadd 6028  df-omul 6029

This theorem is referenced by:  nnmcom  6091  nnmord  6113  nnm00  6125  enq0tr  6624  nq0m0r  6646