Theorem 0elon 4147

Description: The empty set is an ordinal number. Corollary 7N(b) of [Enderton] p. 193. (Contributed by NM, 17-Sep-1993.)

Assertion

Ref	Expression
0elon	|- (/) e. On

Proof of Theorem 0elon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ord0 4146	. 2 |- Ord (/)
2		0ex 3905	. . 3 |- (/) e. _V
3	2	elon 4129	. 2 |- ( (/) e. On <-> Ord (/) )
4	1, 3	mpbir 144	1 |- (/) e. On

Syntax hints:   e. wcel 1433   (/)c0 3251   Ord word 4117   Oncon0 4118

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-nul 3904

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-dif 2975  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-uni 3602  df-tr 3876  df-iord 4121  df-on 4123

This theorem is referenced by:  inton  4148  onn0  4155  onm  4156  limon  4257  ordtriexmid  4265  ordtri2orexmid  4266  onsucsssucexmid  4270  onsucelsucexmid  4273  ordsoexmid  4305  ordpwsucexmid  4313  ordtri2or2exmid  4314  tfr0  5960  1on  6031  ordgt0ge1  6041  omv  6058  oa0  6060  om0  6061  oei0  6062  omcl  6064  omv2  6068  oaword1  6073  nna0r  6080  nnm0r  6081  card0  6457