Theorem enq0tr 6624

Description: The equivalence relation for non-negative fractions is transitive. Lemma for enq0er 6625. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
enq0tr	|- ( ( f ~Q0 g /\ g ~Q0 h ) -> f ~Q0 h )

Proof of Theorem enq0tr

Dummy variables a b c d e s t u v w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2604	. . . . . . . . . 10 |- f e. _V
2		vex 2604	. . . . . . . . . 10 |- g e. _V
3		eleq1 2141	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = f -> ( x e. ( om X. N. ) <-> f e. ( om X. N. ) ) )
4	3	anbi1d 452	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = f -> ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) <-> ( f e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) ) )
5		eqeq1 2087	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = f -> ( x = <. z , w >. <-> f = <. z , w >. ) )
6	5	anbi1d 452	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = f -> ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) <-> ( f = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) ) )
7	6	anbi1d 452	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = f -> ( ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> ( ( f = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
8	7	4exbidv 1791	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = f -> ( E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
9	4, 8	anbi12d 456	. . . . . . . . . 10 |- ( x = f -> ( ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) <-> ( ( f e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) ) )
10		eleq1 2141	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = g -> ( y e. ( om X. N. ) <-> g e. ( om X. N. ) ) )
11	10	anbi2d 451	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = g -> ( ( f e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) <-> ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) ) )
12		eqeq1 2087	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = g -> ( y = <. v , u >. <-> g = <. v , u >. ) )
13	12	anbi2d 451	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = g -> ( ( f = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) <-> ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) ) )
14	13	anbi1d 452	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = g -> ( ( ( f = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
15	14	4exbidv 1791	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = g -> ( E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
16	11, 15	anbi12d 456	. . . . . . . . . 10 |- ( y = g -> ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) <-> ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) ) )
17		df-enq0 6614	. . . . . . . . . 10 |- ~Q0 = { <. x , y >. | ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) }
18	1, 2, 9, 16, 17	brab 4027	. . . . . . . . 9 |- ( f ~Q0 g <-> ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
19		vex 2604	. . . . . . . . . 10 |- h e. _V
20		eleq1 2141	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = g -> ( x e. ( om X. N. ) <-> g e. ( om X. N. ) ) )
21	20	anbi1d 452	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = g -> ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) <-> ( g e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) ) )
22		eqeq1 2087	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = g -> ( x = <. a , b >. <-> g = <. a , b >. ) )
23	22	anbi1d 452	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = g -> ( ( x = <. a , b >. /\ y = <. s , t >. ) <-> ( g = <. a , b >. /\ y = <. s , t >. ) ) )
24	23	anbi1d 452	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = g -> ( ( ( x = <. a , b >. /\ y = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) <-> ( ( g = <. a , b >. /\ y = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) )
25	24	4exbidv 1791	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = g -> ( E. a E. b E. s E. t ( ( x = <. a , b >. /\ y = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) <-> E. a E. b E. s E. t ( ( g = <. a , b >. /\ y = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) )
26	21, 25	anbi12d 456	. . . . . . . . . 10 |- ( x = g -> ( ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. a E. b E. s E. t ( ( x = <. a , b >. /\ y = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) <-> ( ( g e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. a E. b E. s E. t ( ( g = <. a , b >. /\ y = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) )
27		eleq1 2141	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = h -> ( y e. ( om X. N. ) <-> h e. ( om X. N. ) ) )
28	27	anbi2d 451	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = h -> ( ( g e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) <-> ( g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) ) )
29		eqeq1 2087	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = h -> ( y = <. s , t >. <-> h = <. s , t >. ) )
30	29	anbi2d 451	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = h -> ( ( g = <. a , b >. /\ y = <. s , t >. ) <-> ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) ) )
31	30	anbi1d 452	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = h -> ( ( ( g = <. a , b >. /\ y = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) <-> ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) )
32	31	4exbidv 1791	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = h -> ( E. a E. b E. s E. t ( ( g = <. a , b >. /\ y = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) <-> E. a E. b E. s E. t ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) )
33	28, 32	anbi12d 456	. . . . . . . . . 10 |- ( y = h -> ( ( ( g e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. a E. b E. s E. t ( ( g = <. a , b >. /\ y = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) <-> ( ( g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ E. a E. b E. s E. t ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) )
34		df-enq0 6614	. . . . . . . . . 10 |- ~Q0 = { <. x , y >. | ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. a E. b E. s E. t ( ( x = <. a , b >. /\ y = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) }
35	2, 19, 26, 33, 34	brab 4027	. . . . . . . . 9 |- ( g ~Q0 h <-> ( ( g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ E. a E. b E. s E. t ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) )
36	18, 35	anbi12i 447	. . . . . . . 8 |- ( ( f ~Q0 g /\ g ~Q0 h ) <-> ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) /\ ( ( g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ E. a E. b E. s E. t ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) )
37	36	biimpi 118	. . . . . . 7 |- ( ( f ~Q0 g /\ g ~Q0 h ) -> ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) /\ ( ( g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ E. a E. b E. s E. t ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) )
38		an4 550	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) /\ ( ( g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ E. a E. b E. s E. t ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) <-> ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ ( g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) ) /\ ( E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ E. a E. b E. s E. t ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) )
39	37, 38	sylib 120	. . . . . 6 |- ( ( f ~Q0 g /\ g ~Q0 h ) -> ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ ( g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) ) /\ ( E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ E. a E. b E. s E. t ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) )
40		3anass 923	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) <-> ( f e. ( om X. N. ) /\ ( g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) ) )
41		anass 393	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ ( g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) ) <-> ( f e. ( om X. N. ) /\ ( g e. ( om X. N. ) /\ ( g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) ) ) )
42		anass 393	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( g e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ h e. ( om X. N. ) ) <-> ( g e. ( om X. N. ) /\ ( g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) ) )
43	42	anbi2i 444	. . . . . . . . 9 |- ( ( f e. ( om X. N. ) /\ ( ( g e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ h e. ( om X. N. ) ) ) <-> ( f e. ( om X. N. ) /\ ( g e. ( om X. N. ) /\ ( g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) ) ) )
44		anidm 388	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( g e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) <-> g e. ( om X. N. ) )
45	44	anbi1i 445	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( g e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ h e. ( om X. N. ) ) <-> ( g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) )
46	45	anbi2i 444	. . . . . . . . 9 |- ( ( f e. ( om X. N. ) /\ ( ( g e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ h e. ( om X. N. ) ) ) <-> ( f e. ( om X. N. ) /\ ( g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) ) )
47	41, 43, 46	3bitr2i 206	. . . . . . . 8 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ ( g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) ) <-> ( f e. ( om X. N. ) /\ ( g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) ) )
48	40, 47	bitr4i 185	. . . . . . 7 |- ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) <-> ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ ( g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) ) )
49	48	anbi1i 445	. . . . . 6 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ E. a E. b E. s E. t ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) <-> ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ ( g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) ) /\ ( E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ E. a E. b E. s E. t ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) )
50	39, 49	sylibr 132	. . . . 5 |- ( ( f ~Q0 g /\ g ~Q0 h ) -> ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ E. a E. b E. s E. t ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) )
51		ee8anv 1851	. . . . . 6 |- ( E. z E. w E. v E. u E. a E. b E. s E. t ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) <-> ( E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ E. a E. b E. s E. t ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) )
52	51	anbi2i 444	. . . . 5 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u E. a E. b E. s E. t ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) <-> ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ E. a E. b E. s E. t ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) )
53	50, 52	sylibr 132	. . . 4 |- ( ( f ~Q0 g /\ g ~Q0 h ) -> ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u E. a E. b E. s E. t ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) )
54		19.42vvvv 1831	. . . . . . 7 |- ( E. a E. b E. s E. t ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) <-> ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ E. a E. b E. s E. t ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) )
55	54	2exbii 1537	. . . . . 6 |- ( E. v E. u E. a E. b E. s E. t ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) <-> E. v E. u ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ E. a E. b E. s E. t ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) )
56	55	2exbii 1537	. . . . 5 |- ( E. z E. w E. v E. u E. a E. b E. s E. t ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) <-> E. z E. w E. v E. u ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ E. a E. b E. s E. t ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) )
57		19.42vvvv 1831	. . . . 5 |- ( E. z E. w E. v E. u ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ E. a E. b E. s E. t ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) <-> ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u E. a E. b E. s E. t ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) )
58	56, 57	bitri 182	. . . 4 |- ( E. z E. w E. v E. u E. a E. b E. s E. t ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) <-> ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u E. a E. b E. s E. t ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) )
59	53, 58	sylibr 132	. . 3 |- ( ( f ~Q0 g /\ g ~Q0 h ) -> E. z E. w E. v E. u E. a E. b E. s E. t ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) )
60		3simpb 936	. . . . . . . . 9 |- ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) -> ( f e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) )
61	60	adantr 270	. . . . . . . 8 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( f e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) )
62		simplll 499	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) -> f = <. z , w >. )
63		simprlr 504	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) -> h = <. s , t >. )
64	62, 63	jca 300	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) -> ( f = <. z , w >. /\ h = <. s , t >. ) )
65	64	adantl 271	. . . . . . . 8 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( f = <. z , w >. /\ h = <. s , t >. ) )
66		oveq1 5539	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( v = (/) -> ( v .o t ) = ( (/) .o t ) )
67	63	adantl 271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> h = <. s , t >. )
68		simpl3 943	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> h e. ( om X. N. ) )
69	67, 68	eqeltrrd 2156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> <. s , t >. e. ( om X. N. ) )
70		opelxp 4392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( <. s , t >. e. ( om X. N. ) <-> ( s e. om /\ t e. N. ) )
71	69, 70	sylib 120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( s e. om /\ t e. N. ) )
72	71	simprd 112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> t e. N. )
73		pinn 6499	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( t e. N. -> t e. om )
74	72, 73	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> t e. om )
75		nnm0r 6081	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( t e. om -> ( (/) .o t ) = (/) )
76	74, 75	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( (/) .o t ) = (/) )
77	76	eqeq2d 2092	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( ( v .o t ) = ( (/) .o t ) <-> ( v .o t ) = (/) ) )
78	66, 77	syl5ib 152	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( v = (/) -> ( v .o t ) = (/) ) )
79		simprr 498	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) -> ( a .o t ) = ( b .o s ) )
80		eqtr2 2099	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( g = <. v , u >. /\ g = <. a , b >. ) -> <. v , u >. = <. a , b >. )
81		vex 2604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- v e. _V
82		vex 2604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- u e. _V
83	81, 82	opth 3992	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( <. v , u >. = <. a , b >. <-> ( v = a /\ u = b ) )
84	80, 83	sylib 120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( g = <. v , u >. /\ g = <. a , b >. ) -> ( v = a /\ u = b ) )
85		oveq1 5539	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( v = a -> ( v .o t ) = ( a .o t ) )
86		oveq1 5539	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( u = b -> ( u .o s ) = ( b .o s ) )
87	85, 86	eqeqan12d 2096	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( v = a /\ u = b ) -> ( ( v .o t ) = ( u .o s ) <-> ( a .o t ) = ( b .o s ) ) )
88	84, 87	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( g = <. v , u >. /\ g = <. a , b >. ) -> ( ( v .o t ) = ( u .o s ) <-> ( a .o t ) = ( b .o s ) ) )
89	88	ad2ant2lr 493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) ) -> ( ( v .o t ) = ( u .o s ) <-> ( a .o t ) = ( b .o s ) ) )
90	89	ad2ant2r 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) -> ( ( v .o t ) = ( u .o s ) <-> ( a .o t ) = ( b .o s ) ) )
91	79, 90	mpbird 165	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) -> ( v .o t ) = ( u .o s ) )
92	91	eqeq1d 2089	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) -> ( ( v .o t ) = (/) <-> ( u .o s ) = (/) ) )
93	92	adantl 271	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( ( v .o t ) = (/) <-> ( u .o s ) = (/) ) )
94	78, 93	sylibd 147	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( v = (/) -> ( u .o s ) = (/) ) )
95		simpllr 500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) -> g = <. v , u >. )
96	95	adantl 271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> g = <. v , u >. )
97		simpl2 942	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> g e. ( om X. N. ) )
98	96, 97	eqeltrrd 2156	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> <. v , u >. e. ( om X. N. ) )
99		opelxp 4392	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( <. v , u >. e. ( om X. N. ) <-> ( v e. om /\ u e. N. ) )
100	98, 99	sylib 120	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( v e. om /\ u e. N. ) )
101	100	simprd 112	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> u e. N. )
102		pinn 6499	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u e. N. -> u e. om )
103	101, 102	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> u e. om )
104	71	simpld 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> s e. om )
105		nnm00 6125	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( u e. om /\ s e. om ) -> ( ( u .o s ) = (/) <-> ( u = (/) \/ s = (/) ) ) )
106	103, 104, 105	syl2anc 403	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( ( u .o s ) = (/) <-> ( u = (/) \/ s = (/) ) ) )
107	94, 106	sylibd 147	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( v = (/) -> ( u = (/) \/ s = (/) ) ) )
108		elni2 6504	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u e. N. <-> ( u e. om /\ (/) e. u ) )
109	108	simprbi 269	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u e. N. -> (/) e. u )
110	101, 109	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> (/) e. u )
111		n0i 3256	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( (/) e. u -> -. u = (/) )
112		biorf 695	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. u = (/) -> ( s = (/) <-> ( u = (/) \/ s = (/) ) ) )
113	110, 111, 112	3syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( s = (/) <-> ( u = (/) \/ s = (/) ) ) )
114	107, 113	sylibrd 167	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( v = (/) -> s = (/) ) )
115	62	adantl 271	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> f = <. z , w >. )
116		simpl1 941	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> f e. ( om X. N. ) )
117	115, 116	eqeltrrd 2156	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> <. z , w >. e. ( om X. N. ) )
118		opelxp 4392	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( <. z , w >. e. ( om X. N. ) <-> ( z e. om /\ w e. N. ) )
119	117, 118	sylib 120	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( z e. om /\ w e. N. ) )
120	119	simprd 112	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> w e. N. )
121		pinn 6499	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w e. N. -> w e. om )
122	120, 121	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> w e. om )
123		nnm0 6077	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w e. om -> ( w .o (/) ) = (/) )
124	122, 123	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( w .o (/) ) = (/) )
125		oveq2 5540	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s = (/) -> ( w .o s ) = ( w .o (/) ) )
126	125	eqeq1d 2089	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s = (/) -> ( ( w .o s ) = (/) <-> ( w .o (/) ) = (/) ) )
127	124, 126	syl5ibrcom 155	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( s = (/) -> ( w .o s ) = (/) ) )
128	114, 127	syld 44	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( v = (/) -> ( w .o s ) = (/) ) )
129		oveq2 5540	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( v = (/) -> ( w .o v ) = ( w .o (/) ) )
130	124	eqeq2d 2092	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( ( w .o v ) = ( w .o (/) ) <-> ( w .o v ) = (/) ) )
131	129, 130	syl5ib 152	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( v = (/) -> ( w .o v ) = (/) ) )
132		simprlr 504	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( z .o u ) = ( w .o v ) )
133	132	eqeq1d 2089	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( ( z .o u ) = (/) <-> ( w .o v ) = (/) ) )
134	131, 133	sylibrd 167	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( v = (/) -> ( z .o u ) = (/) ) )
135	119	simpld 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> z e. om )
136		nnm00 6125	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z e. om /\ u e. om ) -> ( ( z .o u ) = (/) <-> ( z = (/) \/ u = (/) ) ) )
137	135, 103, 136	syl2anc 403	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( ( z .o u ) = (/) <-> ( z = (/) \/ u = (/) ) ) )
138	134, 137	sylibd 147	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( v = (/) -> ( z = (/) \/ u = (/) ) ) )
139		biorf 695	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. u = (/) -> ( z = (/) <-> ( u = (/) \/ z = (/) ) ) )
140		orcom 679	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( u = (/) \/ z = (/) ) <-> ( z = (/) \/ u = (/) ) )
141	139, 140	syl6bb 194	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. u = (/) -> ( z = (/) <-> ( z = (/) \/ u = (/) ) ) )
142	110, 111, 141	3syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( z = (/) <-> ( z = (/) \/ u = (/) ) ) )
143	138, 142	sylibrd 167	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( v = (/) -> z = (/) ) )
144		oveq1 5539	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = (/) -> ( z .o t ) = ( (/) .o t ) )
145	144	eqeq1d 2089	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = (/) -> ( ( z .o t ) = (/) <-> ( (/) .o t ) = (/) ) )
146	76, 145	syl5ibrcom 155	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( z = (/) -> ( z .o t ) = (/) ) )
147	143, 146	syld 44	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( v = (/) -> ( z .o t ) = (/) ) )
148	128, 147	jcad 301	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( v = (/) -> ( ( w .o s ) = (/) /\ ( z .o t ) = (/) ) ) )
149		eqtr3 2100	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( w .o s ) = (/) /\ ( z .o t ) = (/) ) -> ( w .o s ) = ( z .o t ) )
150	149	eqcomd 2086	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( w .o s ) = (/) /\ ( z .o t ) = (/) ) -> ( z .o t ) = ( w .o s ) )
151	148, 150	syl6 33	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( v = (/) -> ( z .o t ) = ( w .o s ) ) )
152		simplr 496	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) -> ( z .o u ) = ( w .o v ) )
153	91, 152	oveq12d 5550	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) -> ( ( v .o t ) .o ( z .o u ) ) = ( ( u .o s ) .o ( w .o v ) ) )
154	153	adantl 271	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( ( v .o t ) .o ( z .o u ) ) = ( ( u .o s ) .o ( w .o v ) ) )
155	100	simpld 110	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> v e. om )
156		nnmcl 6083	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( v e. om /\ t e. om ) -> ( v .o t ) e. om )
157	155, 74, 156	syl2anc 403	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( v .o t ) e. om )
158		nnmcom 6091	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( c e. om /\ d e. om ) -> ( c .o d ) = ( d .o c ) )
159	158	adantl 271	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) /\ ( c e. om /\ d e. om ) ) -> ( c .o d ) = ( d .o c ) )
160		nnmass 6089	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( c e. om /\ d e. om /\ e e. om ) -> ( ( c .o d ) .o e ) = ( c .o ( d .o e ) ) )
161	160	adantl 271	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) /\ ( c e. om /\ d e. om /\ e e. om ) ) -> ( ( c .o d ) .o e ) = ( c .o ( d .o e ) ) )
162	157, 135, 103, 159, 161	caov13d 5704	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( ( v .o t ) .o ( z .o u ) ) = ( u .o ( z .o ( v .o t ) ) ) )
163		nnmcl 6083	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( w e. om /\ v e. om ) -> ( w .o v ) e. om )
164	122, 155, 163	syl2anc 403	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( w .o v ) e. om )
165	161, 103, 104, 164	caovassd 5680	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( ( u .o s ) .o ( w .o v ) ) = ( u .o ( s .o ( w .o v ) ) ) )
166	154, 162, 165	3eqtr3d 2121	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( u .o ( z .o ( v .o t ) ) ) = ( u .o ( s .o ( w .o v ) ) ) )
167		nnmcl 6083	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. om /\ ( v .o t ) e. om ) -> ( z .o ( v .o t ) ) e. om )
168	135, 157, 167	syl2anc 403	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( z .o ( v .o t ) ) e. om )
169		nnmcl 6083	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( s e. om /\ ( w .o v ) e. om ) -> ( s .o ( w .o v ) ) e. om )
170	104, 164, 169	syl2anc 403	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( s .o ( w .o v ) ) e. om )
171		nnmcan 6115	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( u e. om /\ ( z .o ( v .o t ) ) e. om /\ ( s .o ( w .o v ) ) e. om ) /\ (/) e. u ) -> ( ( u .o ( z .o ( v .o t ) ) ) = ( u .o ( s .o ( w .o v ) ) ) <-> ( z .o ( v .o t ) ) = ( s .o ( w .o v ) ) ) )
172	103, 168, 170, 110, 171	syl31anc 1172	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( ( u .o ( z .o ( v .o t ) ) ) = ( u .o ( s .o ( w .o v ) ) ) <-> ( z .o ( v .o t ) ) = ( s .o ( w .o v ) ) ) )
173	166, 172	mpbid 145	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( z .o ( v .o t ) ) = ( s .o ( w .o v ) ) )
174	135, 155, 74, 159, 161	caov12d 5702	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( z .o ( v .o t ) ) = ( v .o ( z .o t ) ) )
175	104, 122, 155, 159, 161	caov13d 5704	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( s .o ( w .o v ) ) = ( v .o ( w .o s ) ) )
176	173, 174, 175	3eqtr3d 2121	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( v .o ( z .o t ) ) = ( v .o ( w .o s ) ) )
177	176	adantr 270	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) /\ (/) e. v ) -> ( v .o ( z .o t ) ) = ( v .o ( w .o s ) ) )
178		nnmcl 6083	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. om /\ t e. om ) -> ( z .o t ) e. om )
179	135, 74, 178	syl2anc 403	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( z .o t ) e. om )
180		nnmcl 6083	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( w e. om /\ s e. om ) -> ( w .o s ) e. om )
181	122, 104, 180	syl2anc 403	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( w .o s ) e. om )
182	155, 179, 181	3jca 1118	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( v e. om /\ ( z .o t ) e. om /\ ( w .o s ) e. om ) )
183		nnmcan 6115	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( v e. om /\ ( z .o t ) e. om /\ ( w .o s ) e. om ) /\ (/) e. v ) -> ( ( v .o ( z .o t ) ) = ( v .o ( w .o s ) ) <-> ( z .o t ) = ( w .o s ) ) )
184	182, 183	sylan 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) /\ (/) e. v ) -> ( ( v .o ( z .o t ) ) = ( v .o ( w .o s ) ) <-> ( z .o t ) = ( w .o s ) ) )
185	177, 184	mpbid 145	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) /\ (/) e. v ) -> ( z .o t ) = ( w .o s ) )
186	185	ex 113	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( (/) e. v -> ( z .o t ) = ( w .o s ) ) )
187		0elnn 4358	. . . . . . . . . 10 |- ( v e. om -> ( v = (/) \/ (/) e. v ) )
188	155, 187	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( v = (/) \/ (/) e. v ) )
189	151, 186, 188	mpjaod 670	. . . . . . . 8 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( z .o t ) = ( w .o s ) )
190	61, 65, 189	jca32 303	. . . . . . 7 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( ( f e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( f = <. z , w >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( z .o t ) = ( w .o s ) ) ) )
191	190	2eximi 1532	. . . . . 6 |- ( E. s E. t ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> E. s E. t ( ( f e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( f = <. z , w >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( z .o t ) = ( w .o s ) ) ) )
192	191	exlimivv 1817	. . . . 5 |- ( E. a E. b E. s E. t ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> E. s E. t ( ( f e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( f = <. z , w >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( z .o t ) = ( w .o s ) ) ) )
193	192	exlimivv 1817	. . . 4 |- ( E. v E. u E. a E. b E. s E. t ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> E. s E. t ( ( f e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( f = <. z , w >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( z .o t ) = ( w .o s ) ) ) )
194	193	2eximi 1532	. . 3 |- ( E. z E. w E. v E. u E. a E. b E. s E. t ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> E. z E. w E. s E. t ( ( f e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( f = <. z , w >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( z .o t ) = ( w .o s ) ) ) )
195	59, 194	syl 14	. 2 |- ( ( f ~Q0 g /\ g ~Q0 h ) -> E. z E. w E. s E. t ( ( f e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( f = <. z , w >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( z .o t ) = ( w .o s ) ) ) )
196		19.42vvvv 1831	. . 3 |- ( E. z E. w E. s E. t ( ( f e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( f = <. z , w >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( z .o t ) = ( w .o s ) ) ) <-> ( ( f e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. s E. t ( ( f = <. z , w >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( z .o t ) = ( w .o s ) ) ) )
197	5	anbi1d 452	. . . . . . 7 |- ( x = f -> ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. s , t >. ) <-> ( f = <. z , w >. /\ y = <. s , t >. ) ) )
198	197	anbi1d 452	. . . . . 6 |- ( x = f -> ( ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. s , t >. ) /\ ( z .o t ) = ( w .o s ) ) <-> ( ( f = <. z , w >. /\ y = <. s , t >. ) /\ ( z .o t ) = ( w .o s ) ) ) )
199	198	4exbidv 1791	. . . . 5 |- ( x = f -> ( E. z E. w E. s E. t ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. s , t >. ) /\ ( z .o t ) = ( w .o s ) ) <-> E. z E. w E. s E. t ( ( f = <. z , w >. /\ y = <. s , t >. ) /\ ( z .o t ) = ( w .o s ) ) ) )
200	4, 199	anbi12d 456	. . . 4 |- ( x = f -> ( ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. s E. t ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. s , t >. ) /\ ( z .o t ) = ( w .o s ) ) ) <-> ( ( f e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. s E. t ( ( f = <. z , w >. /\ y = <. s , t >. ) /\ ( z .o t ) = ( w .o s ) ) ) ) )
201	27	anbi2d 451	. . . . 5 |- ( y = h -> ( ( f e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) <-> ( f e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) ) )
202	29	anbi2d 451	. . . . . . 7 |- ( y = h -> ( ( f = <. z , w >. /\ y = <. s , t >. ) <-> ( f = <. z , w >. /\ h = <. s , t >. ) ) )
203	202	anbi1d 452	. . . . . 6 |- ( y = h -> ( ( ( f = <. z , w >. /\ y = <. s , t >. ) /\ ( z .o t ) = ( w .o s ) ) <-> ( ( f = <. z , w >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( z .o t ) = ( w .o s ) ) ) )
204	203	4exbidv 1791	. . . . 5 |- ( y = h -> ( E. z E. w E. s E. t ( ( f = <. z , w >. /\ y = <. s , t >. ) /\ ( z .o t ) = ( w .o s ) ) <-> E. z E. w E. s E. t ( ( f = <. z , w >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( z .o t ) = ( w .o s ) ) ) )
205	201, 204	anbi12d 456	. . . 4 |- ( y = h -> ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. s E. t ( ( f = <. z , w >. /\ y = <. s , t >. ) /\ ( z .o t ) = ( w .o s ) ) ) <-> ( ( f e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. s E. t ( ( f = <. z , w >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( z .o t ) = ( w .o s ) ) ) ) )
206		df-enq0 6614	. . . 4 |- ~Q0 = { <. x , y >. | ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. s E. t ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. s , t >. ) /\ ( z .o t ) = ( w .o s ) ) ) }
207	1, 19, 200, 205, 206	brab 4027	. . 3 |- ( f ~Q0 h <-> ( ( f e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. s E. t ( ( f = <. z , w >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( z .o t ) = ( w .o s ) ) ) )
208	196, 207	bitr4i 185	. 2 |- ( E. z E. w E. s E. t ( ( f e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( f = <. z , w >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( z .o t ) = ( w .o s ) ) ) <-> f ~Q0 h )
209	195, 208	sylib 120	1 |- ( ( f ~Q0 g /\ g ~Q0 h ) -> f ~Q0 h )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   \/ wo 661   /\ w3a 919   = wceq 1284   E.wex 1421   e. wcel 1433   (/)c0 3251   <.cop 3401   class class class wbr 3785   omcom 4331   X. cxp 4361  (class class class)co 5532   .o comu 6022   N.cnpi 6462   ~_Q0 ceq0 6476

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-irdg 5980  df-oadd 6028  df-omul 6029  df-ni 6494  df-enq0 6614

This theorem is referenced by:  enq0er  6625