Theorem oddm1even 10274

Description: An integer is odd iff its predecessor is even. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
oddm1even	|- ( N e. ZZ -> ( -. 2 || N <-> 2 || ( N - 1 ) ) )

Proof of Theorem oddm1even

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 107	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> N e. ZZ )
2	1	zcnd 8470	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> N e. CC )
3		1cnd 7135	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> 1 e. CC )
4		2cnd 8112	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> 2 e. CC )
5		simpr 108	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> n e. ZZ )
6	5	zcnd 8470	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> n e. CC )
7	4, 6	mulcld 7139	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( 2 x. n ) e. CC )
8	2, 3, 7	subadd2d 7438	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( ( N - 1 ) = ( 2 x. n ) <-> ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) )
9		eqcom 2083	. . . . 5 |- ( ( N - 1 ) = ( 2 x. n ) <-> ( 2 x. n ) = ( N - 1 ) )
10	4, 6	mulcomd 7140	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( 2 x. n ) = ( n x. 2 ) )
11	10	eqeq1d 2089	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( ( 2 x. n ) = ( N - 1 ) <-> ( n x. 2 ) = ( N - 1 ) ) )
12	9, 11	syl5bb 190	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( ( N - 1 ) = ( 2 x. n ) <-> ( n x. 2 ) = ( N - 1 ) ) )
13	8, 12	bitr3d 188	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N <-> ( n x. 2 ) = ( N - 1 ) ) )
14	13	rexbidva 2365	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N <-> E. n e. ZZ ( n x. 2 ) = ( N - 1 ) ) )
15		odd2np1 10272	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( -. 2 || N <-> E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) )
16		2z 8379	. . 3 |- 2 e. ZZ
17		peano2zm 8389	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ZZ )
18		divides 10197	. . 3 |- ( ( 2 e. ZZ /\ ( N - 1 ) e. ZZ ) -> ( 2 || ( N - 1 ) <-> E. n e. ZZ ( n x. 2 ) = ( N - 1 ) ) )
19	16, 17, 18	sylancr 405	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( 2 || ( N - 1 ) <-> E. n e. ZZ ( n x. 2 ) = ( N - 1 ) ) )
20	14, 15, 19	3bitr4d 218	1 |- ( N e. ZZ -> ( -. 2 || N <-> 2 || ( N - 1 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   = wceq 1284   e. wcel 1433   E.wrex 2349   class class class wbr 3785  (class class class)co 5532   1c1 6982   + caddc 6984   x. cmul 6986   - cmin 7279   2c2 8089   ZZcz 8351   || cdvds 10195

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-mulrcl 7075  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-1rid 7083  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-precex 7086  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092  ax-pre-mulgt0 7093  ax-pre-mulext 7094

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-xor 1307  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rmo 2356  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-br 3786  df-opab 3840  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-reap 7675  df-ap 7682  df-div 7761  df-inn 8040  df-2 8098  df-n0 8289  df-z 8352  df-dvds 10196

This theorem is referenced by:  oddp1even  10275  n2dvds3  10315