Theorem odd2np1 10272

Description: An integer is odd iff it is one plus twice another integer. (Contributed by Scott Fenton, 3-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
odd2np1	|- ( N e. ZZ -> ( -. 2 || N <-> E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) )

Distinct variable group:   n, N

Proof of Theorem odd2np1

Dummy variables k x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 8379	. . . 4 |- 2 e. ZZ
2		divides 10197	. . . 4 |- ( ( 2 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 2 || N <-> E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = N ) )
3	1, 2	mpan 414	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( 2 || N <-> E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = N ) )
4	3	notbid 624	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( -. 2 || N <-> -. E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = N ) )
5		elznn0 8366	. . . 4 |- ( N e. ZZ <-> ( N e. RR /\ ( N e. NN0 \/ -u N e. NN0 ) ) )
6		odd2np1lem 10271	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N \/ E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = N ) )
7	6	adantl 271	. . . . 5 |- ( ( N e. RR /\ N e. NN0 ) -> ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N \/ E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = N ) )
8		odd2np1lem 10271	. . . . . . 7 |- ( -u N e. NN0 -> ( E. x e. ZZ ( ( 2 x. x ) + 1 ) = -u N \/ E. y e. ZZ ( y x. 2 ) = -u N ) )
9		peano2z 8387	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ZZ -> ( x + 1 ) e. ZZ )
10		znegcl 8382	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x + 1 ) e. ZZ -> -u ( x + 1 ) e. ZZ )
11	9, 10	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ZZ -> -u ( x + 1 ) e. ZZ )
12	11	ad2antlr 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. RR /\ x e. ZZ ) /\ ( ( 2 x. x ) + 1 ) = -u N ) -> -u ( x + 1 ) e. ZZ )
13		zcn 8356	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ZZ -> x e. CC )
14		2cn 8110	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 2 e. CC
15		mulcl 7100	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 2 e. CC /\ x e. CC ) -> ( 2 x. x ) e. CC )
16	14, 15	mpan 414	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. CC -> ( 2 x. x ) e. CC )
17		peano2cn 7243	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 2 x. x ) e. CC -> ( ( 2 x. x ) + 1 ) e. CC )
18	16, 17	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. CC -> ( ( 2 x. x ) + 1 ) e. CC )
19	13, 18	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ZZ -> ( ( 2 x. x ) + 1 ) e. CC )
20	19	adantl 271	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. RR /\ x e. ZZ ) -> ( ( 2 x. x ) + 1 ) e. CC )
21		simpl 107	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. RR /\ x e. ZZ ) -> N e. RR )
22	21	recnd 7147	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. RR /\ x e. ZZ ) -> N e. CC )
23		negcon2 7361	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) e. CC /\ N e. CC ) -> ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) = -u N <-> N = -u ( ( 2 x. x ) + 1 ) ) )
24	20, 22, 23	syl2anc 403	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. RR /\ x e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) = -u N <-> N = -u ( ( 2 x. x ) + 1 ) ) )
25		eqcom 2083	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N = -u ( ( 2 x. x ) + 1 ) <-> -u ( ( 2 x. x ) + 1 ) = N )
26	14, 13, 15	sylancr 405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. ZZ -> ( 2 x. x ) e. CC )
27		ax-1cn 7069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- 1 e. CC
28	14, 27	mulcli 7124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( 2 x. 1 ) e. CC
29		addsubass 7318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( 2 x. x ) e. CC /\ ( 2 x. 1 ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( ( 2 x. x ) + ( 2 x. 1 ) ) - 1 ) = ( ( 2 x. x ) + ( ( 2 x. 1 ) - 1 ) ) )
30	28, 27, 29	mp3an23 1260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( 2 x. x ) e. CC -> ( ( ( 2 x. x ) + ( 2 x. 1 ) ) - 1 ) = ( ( 2 x. x ) + ( ( 2 x. 1 ) - 1 ) ) )
31	26, 30	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. ZZ -> ( ( ( 2 x. x ) + ( 2 x. 1 ) ) - 1 ) = ( ( 2 x. x ) + ( ( 2 x. 1 ) - 1 ) ) )
32		2t1e2 8185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( 2 x. 1 ) = 2
33	32	oveq1i 5542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( 2 x. 1 ) - 1 ) = ( 2 - 1 )
34		2m1e1 8156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( 2 - 1 ) = 1
35	33, 34	eqtri 2101	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( 2 x. 1 ) - 1 ) = 1
36	35	oveq2i 5543	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 2 x. x ) + ( ( 2 x. 1 ) - 1 ) ) = ( ( 2 x. x ) + 1 )
37	31, 36	syl6req 2130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. ZZ -> ( ( 2 x. x ) + 1 ) = ( ( ( 2 x. x ) + ( 2 x. 1 ) ) - 1 ) )
38		adddi 7105	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( 2 e. CC /\ x e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( 2 x. ( x + 1 ) ) = ( ( 2 x. x ) + ( 2 x. 1 ) ) )
39	14, 27, 38	mp3an13 1259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. CC -> ( 2 x. ( x + 1 ) ) = ( ( 2 x. x ) + ( 2 x. 1 ) ) )
40	13, 39	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. ZZ -> ( 2 x. ( x + 1 ) ) = ( ( 2 x. x ) + ( 2 x. 1 ) ) )
41	40	oveq1d 5547	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. ZZ -> ( ( 2 x. ( x + 1 ) ) - 1 ) = ( ( ( 2 x. x ) + ( 2 x. 1 ) ) - 1 ) )
42	37, 41	eqtr4d 2116	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. ZZ -> ( ( 2 x. x ) + 1 ) = ( ( 2 x. ( x + 1 ) ) - 1 ) )
43	42	negeqd 7303	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. ZZ -> -u ( ( 2 x. x ) + 1 ) = -u ( ( 2 x. ( x + 1 ) ) - 1 ) )
44	9	zcnd 8470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. ZZ -> ( x + 1 ) e. CC )
45		mulneg2 7500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 2 e. CC /\ ( x + 1 ) e. CC ) -> ( 2 x. -u ( x + 1 ) ) = -u ( 2 x. ( x + 1 ) ) )
46	14, 44, 45	sylancr 405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. ZZ -> ( 2 x. -u ( x + 1 ) ) = -u ( 2 x. ( x + 1 ) ) )
47	46	oveq1d 5547	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. ZZ -> ( ( 2 x. -u ( x + 1 ) ) + 1 ) = ( -u ( 2 x. ( x + 1 ) ) + 1 ) )
48		mulcl 7100	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 2 e. CC /\ ( x + 1 ) e. CC ) -> ( 2 x. ( x + 1 ) ) e. CC )
49	14, 44, 48	sylancr 405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. ZZ -> ( 2 x. ( x + 1 ) ) e. CC )
50		negsubdi 7364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( 2 x. ( x + 1 ) ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> -u ( ( 2 x. ( x + 1 ) ) - 1 ) = ( -u ( 2 x. ( x + 1 ) ) + 1 ) )
51	49, 27, 50	sylancl 404	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. ZZ -> -u ( ( 2 x. ( x + 1 ) ) - 1 ) = ( -u ( 2 x. ( x + 1 ) ) + 1 ) )
52	47, 51	eqtr4d 2116	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. ZZ -> ( ( 2 x. -u ( x + 1 ) ) + 1 ) = -u ( ( 2 x. ( x + 1 ) ) - 1 ) )
53	43, 52	eqtr4d 2116	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ZZ -> -u ( ( 2 x. x ) + 1 ) = ( ( 2 x. -u ( x + 1 ) ) + 1 ) )
54	53	adantl 271	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. RR /\ x e. ZZ ) -> -u ( ( 2 x. x ) + 1 ) = ( ( 2 x. -u ( x + 1 ) ) + 1 ) )
55	54	eqeq1d 2089	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. RR /\ x e. ZZ ) -> ( -u ( ( 2 x. x ) + 1 ) = N <-> ( ( 2 x. -u ( x + 1 ) ) + 1 ) = N ) )
56	25, 55	syl5bb 190	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. RR /\ x e. ZZ ) -> ( N = -u ( ( 2 x. x ) + 1 ) <-> ( ( 2 x. -u ( x + 1 ) ) + 1 ) = N ) )
57	24, 56	bitrd 186	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. RR /\ x e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) = -u N <-> ( ( 2 x. -u ( x + 1 ) ) + 1 ) = N ) )
58	57	biimpa 290	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. RR /\ x e. ZZ ) /\ ( ( 2 x. x ) + 1 ) = -u N ) -> ( ( 2 x. -u ( x + 1 ) ) + 1 ) = N )
59		oveq2 5540	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = -u ( x + 1 ) -> ( 2 x. n ) = ( 2 x. -u ( x + 1 ) ) )
60	59	oveq1d 5547	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = -u ( x + 1 ) -> ( ( 2 x. n ) + 1 ) = ( ( 2 x. -u ( x + 1 ) ) + 1 ) )
61	60	eqeq1d 2089	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = -u ( x + 1 ) -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N <-> ( ( 2 x. -u ( x + 1 ) ) + 1 ) = N ) )
62	61	rspcev 2701	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -u ( x + 1 ) e. ZZ /\ ( ( 2 x. -u ( x + 1 ) ) + 1 ) = N ) -> E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N )
63	12, 58, 62	syl2anc 403	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. RR /\ x e. ZZ ) /\ ( ( 2 x. x ) + 1 ) = -u N ) -> E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N )
64	63	ex 113	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. RR /\ x e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) = -u N -> E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) )
65	64	rexlimdva 2477	. . . . . . . 8 |- ( N e. RR -> ( E. x e. ZZ ( ( 2 x. x ) + 1 ) = -u N -> E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) )
66		znegcl 8382	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ZZ -> -u y e. ZZ )
67	66	ad2antlr 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. RR /\ y e. ZZ ) /\ ( y x. 2 ) = -u N ) -> -u y e. ZZ )
68		zcn 8356	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. ZZ -> y e. CC )
69		mulcl 7100	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. CC /\ 2 e. CC ) -> ( y x. 2 ) e. CC )
70	68, 14, 69	sylancl 404	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ZZ -> ( y x. 2 ) e. CC )
71		recn 7106	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. RR -> N e. CC )
72		negcon2 7361	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( y x. 2 ) e. CC /\ N e. CC ) -> ( ( y x. 2 ) = -u N <-> N = -u ( y x. 2 ) ) )
73	70, 71, 72	syl2anr 284	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. RR /\ y e. ZZ ) -> ( ( y x. 2 ) = -u N <-> N = -u ( y x. 2 ) ) )
74		mulneg1 7499	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. CC /\ 2 e. CC ) -> ( -u y x. 2 ) = -u ( y x. 2 ) )
75	68, 14, 74	sylancl 404	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. ZZ -> ( -u y x. 2 ) = -u ( y x. 2 ) )
76	75	adantl 271	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. RR /\ y e. ZZ ) -> ( -u y x. 2 ) = -u ( y x. 2 ) )
77	76	eqeq1d 2089	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. RR /\ y e. ZZ ) -> ( ( -u y x. 2 ) = N <-> -u ( y x. 2 ) = N ) )
78		eqcom 2083	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N = -u ( y x. 2 ) <-> -u ( y x. 2 ) = N )
79	77, 78	syl6rbbr 197	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. RR /\ y e. ZZ ) -> ( N = -u ( y x. 2 ) <-> ( -u y x. 2 ) = N ) )
80	73, 79	bitrd 186	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. RR /\ y e. ZZ ) -> ( ( y x. 2 ) = -u N <-> ( -u y x. 2 ) = N ) )
81	80	biimpa 290	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. RR /\ y e. ZZ ) /\ ( y x. 2 ) = -u N ) -> ( -u y x. 2 ) = N )
82		oveq1 5539	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = -u y -> ( k x. 2 ) = ( -u y x. 2 ) )
83	82	eqeq1d 2089	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = -u y -> ( ( k x. 2 ) = N <-> ( -u y x. 2 ) = N ) )
84	83	rspcev 2701	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -u y e. ZZ /\ ( -u y x. 2 ) = N ) -> E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = N )
85	67, 81, 84	syl2anc 403	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. RR /\ y e. ZZ ) /\ ( y x. 2 ) = -u N ) -> E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = N )
86	85	ex 113	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. RR /\ y e. ZZ ) -> ( ( y x. 2 ) = -u N -> E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = N ) )
87	86	rexlimdva 2477	. . . . . . . 8 |- ( N e. RR -> ( E. y e. ZZ ( y x. 2 ) = -u N -> E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = N ) )
88	65, 87	orim12d 732	. . . . . . 7 |- ( N e. RR -> ( ( E. x e. ZZ ( ( 2 x. x ) + 1 ) = -u N \/ E. y e. ZZ ( y x. 2 ) = -u N ) -> ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N \/ E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = N ) ) )
89	8, 88	syl5 32	. . . . . 6 |- ( N e. RR -> ( -u N e. NN0 -> ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N \/ E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = N ) ) )
90	89	imp 122	. . . . 5 |- ( ( N e. RR /\ -u N e. NN0 ) -> ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N \/ E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = N ) )
91	7, 90	jaodan 743	. . . 4 |- ( ( N e. RR /\ ( N e. NN0 \/ -u N e. NN0 ) ) -> ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N \/ E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = N ) )
92	5, 91	sylbi 119	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N \/ E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = N ) )
93		halfnz 8443	. . . 4 |- -. ( 1 / 2 ) e. ZZ
94		reeanv 2523	. . . . 5 |- ( E. n e. ZZ E. k e. ZZ ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N /\ ( k x. 2 ) = N ) <-> ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N /\ E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = N ) )
95		eqtr3 2100	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N /\ ( k x. 2 ) = N ) -> ( ( 2 x. n ) + 1 ) = ( k x. 2 ) )
96		zcn 8356	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ZZ -> k e. CC )
97		mulcom 7102	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. CC /\ 2 e. CC ) -> ( k x. 2 ) = ( 2 x. k ) )
98	96, 14, 97	sylancl 404	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ZZ -> ( k x. 2 ) = ( 2 x. k ) )
99	98	eqeq2d 2092	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ZZ -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = ( k x. 2 ) <-> ( ( 2 x. n ) + 1 ) = ( 2 x. k ) ) )
100	99	adantl 271	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = ( k x. 2 ) <-> ( ( 2 x. n ) + 1 ) = ( 2 x. k ) ) )
101		mulcl 7100	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 e. CC /\ k e. CC ) -> ( 2 x. k ) e. CC )
102	14, 96, 101	sylancr 405	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ZZ -> ( 2 x. k ) e. CC )
103		zcn 8356	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ZZ -> n e. CC )
104		mulcl 7100	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 e. CC /\ n e. CC ) -> ( 2 x. n ) e. CC )
105	14, 103, 104	sylancr 405	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ZZ -> ( 2 x. n ) e. CC )
106		subadd 7311	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 2 x. k ) e. CC /\ ( 2 x. n ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( ( 2 x. k ) - ( 2 x. n ) ) = 1 <-> ( ( 2 x. n ) + 1 ) = ( 2 x. k ) ) )
107	27, 106	mp3an3 1257	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 2 x. k ) e. CC /\ ( 2 x. n ) e. CC ) -> ( ( ( 2 x. k ) - ( 2 x. n ) ) = 1 <-> ( ( 2 x. n ) + 1 ) = ( 2 x. k ) ) )
108	102, 105, 107	syl2anr 284	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. k ) - ( 2 x. n ) ) = 1 <-> ( ( 2 x. n ) + 1 ) = ( 2 x. k ) ) )
109		subcl 7307	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k e. CC /\ n e. CC ) -> ( k - n ) e. CC )
110		2ap0 8132	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 2 # 0
111	14, 110	pm3.2i 266	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 2 e. CC /\ 2 # 0 )
112		eqcom 2083	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k - n ) = ( 1 / 2 ) <-> ( 1 / 2 ) = ( k - n ) )
113		divmulap 7763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 e. CC /\ ( k - n ) e. CC /\ ( 2 e. CC /\ 2 # 0 ) ) -> ( ( 1 / 2 ) = ( k - n ) <-> ( 2 x. ( k - n ) ) = 1 ) )
114	112, 113	syl5bb 190	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1 e. CC /\ ( k - n ) e. CC /\ ( 2 e. CC /\ 2 # 0 ) ) -> ( ( k - n ) = ( 1 / 2 ) <-> ( 2 x. ( k - n ) ) = 1 ) )
115	27, 111, 114	mp3an13 1259	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k - n ) e. CC -> ( ( k - n ) = ( 1 / 2 ) <-> ( 2 x. ( k - n ) ) = 1 ) )
116	109, 115	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. CC /\ n e. CC ) -> ( ( k - n ) = ( 1 / 2 ) <-> ( 2 x. ( k - n ) ) = 1 ) )
117	116	ancoms 264	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. CC /\ k e. CC ) -> ( ( k - n ) = ( 1 / 2 ) <-> ( 2 x. ( k - n ) ) = 1 ) )
118		subdi 7489	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 2 e. CC /\ k e. CC /\ n e. CC ) -> ( 2 x. ( k - n ) ) = ( ( 2 x. k ) - ( 2 x. n ) ) )
119	14, 118	mp3an1 1255	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k e. CC /\ n e. CC ) -> ( 2 x. ( k - n ) ) = ( ( 2 x. k ) - ( 2 x. n ) ) )
120	119	ancoms 264	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. CC /\ k e. CC ) -> ( 2 x. ( k - n ) ) = ( ( 2 x. k ) - ( 2 x. n ) ) )
121	120	eqeq1d 2089	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. CC /\ k e. CC ) -> ( ( 2 x. ( k - n ) ) = 1 <-> ( ( 2 x. k ) - ( 2 x. n ) ) = 1 ) )
122	117, 121	bitrd 186	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. CC /\ k e. CC ) -> ( ( k - n ) = ( 1 / 2 ) <-> ( ( 2 x. k ) - ( 2 x. n ) ) = 1 ) )
123	103, 96, 122	syl2an 283	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( k - n ) = ( 1 / 2 ) <-> ( ( 2 x. k ) - ( 2 x. n ) ) = 1 ) )
124		zsubcl 8392	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( k - n ) e. ZZ )
125		eleq1 2141	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k - n ) = ( 1 / 2 ) -> ( ( k - n ) e. ZZ <-> ( 1 / 2 ) e. ZZ ) )
126	124, 125	syl5ibcom 153	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( ( k - n ) = ( 1 / 2 ) -> ( 1 / 2 ) e. ZZ ) )
127	126	ancoms 264	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( k - n ) = ( 1 / 2 ) -> ( 1 / 2 ) e. ZZ ) )
128	123, 127	sylbird 168	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. k ) - ( 2 x. n ) ) = 1 -> ( 1 / 2 ) e. ZZ ) )
129	108, 128	sylbird 168	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = ( 2 x. k ) -> ( 1 / 2 ) e. ZZ ) )
130	100, 129	sylbid 148	. . . . . . 7 |- ( ( n e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = ( k x. 2 ) -> ( 1 / 2 ) e. ZZ ) )
131	95, 130	syl5 32	. . . . . 6 |- ( ( n e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N /\ ( k x. 2 ) = N ) -> ( 1 / 2 ) e. ZZ ) )
132	131	rexlimivv 2482	. . . . 5 |- ( E. n e. ZZ E. k e. ZZ ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N /\ ( k x. 2 ) = N ) -> ( 1 / 2 ) e. ZZ )
133	94, 132	sylbir 133	. . . 4 |- ( ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N /\ E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = N ) -> ( 1 / 2 ) e. ZZ )
134	93, 133	mto 620	. . 3 |- -. ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N /\ E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = N )
135		df-xor 1307	. . . . 5 |- ( ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N \/_ E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = N ) <-> ( ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N \/ E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = N ) /\ -. ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N /\ E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = N ) ) )
136		xorbin 1315	. . . . 5 |- ( ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N \/_ E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = N ) -> ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N <-> -. E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = N ) )
137	135, 136	sylbir 133	. . . 4 |- ( ( ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N \/ E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = N ) /\ -. ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N /\ E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = N ) ) -> ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N <-> -. E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = N ) )
138	137	bicomd 139	. . 3 |- ( ( ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N \/ E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = N ) /\ -. ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N /\ E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = N ) ) -> ( -. E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = N <-> E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) )
139	92, 134, 138	sylancl 404	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( -. E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = N <-> E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) )
140	4, 139	bitrd 186	1 |- ( N e. ZZ -> ( -. 2 || N <-> E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   \/ wo 661   /\ w3a 919   = wceq 1284   \/_ wxo 1306   e. wcel 1433   E.wrex 2349   class class class wbr 3785  (class class class)co 5532   CCcc 6979   RRcr 6980   0cc0 6981   1c1 6982   + caddc 6984   x. cmul 6986   - cmin 7279   -ucneg 7280   # cap 7681   / cdiv 7760   2c2 8089   NN0cn0 8288   ZZcz 8351   || cdvds 10195

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-mulrcl 7075  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-1rid 7083  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-precex 7086  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092  ax-pre-mulgt0 7093  ax-pre-mulext 7094

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-xor 1307  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rmo 2356  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-br 3786  df-opab 3840  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-reap 7675  df-ap 7682  df-div 7761  df-inn 8040  df-2 8098  df-n0 8289  df-z 8352  df-dvds 10196

This theorem is referenced by:  oddm1even  10274  oexpneg  10276  oddnn02np1  10280  2tp1odd  10284  sqoddm1div8z  10286  ltoddhalfle  10293  halfleoddlt  10294  opoe  10295  omoe  10296  opeo  10297  omeo  10298  m1expo  10300  m1exp1  10301  flodddiv4  10334