Theorem oeicl 6065

Description: Closure law for ordinal exponentiation. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
oeicl	|- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A ↑𝑜 B ) e. On )

Proof of Theorem oeicl

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oeiv 6059	. 2 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A ↑𝑜 B ) = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` B ) )
2		vex 2604	. . . . . 6 |- x e. _V
3		omexg 6054	. . . . . 6 |- ( ( x e. _V /\ A e. On ) -> ( x .o A ) e. _V )
4	2, 3	mpan 414	. . . . 5 |- ( A e. On -> ( x .o A ) e. _V )
5	4	ralrimivw 2435	. . . 4 |- ( A e. On -> A. x e. _V ( x .o A ) e. _V )
6		eqid 2081	. . . . 5 |- ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) = ( x e. _V |-> ( x .o A ) )
7	6	fnmpt 5045	. . . 4 |- ( A. x e. _V ( x .o A ) e. _V -> ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) Fn _V )
8	5, 7	syl 14	. . 3 |- ( A e. On -> ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) Fn _V )
9		1on 6031	. . . 4 |- 1o e. On
10	9	a1i 9	. . 3 |- ( A e. On -> 1o e. On )
11		omcl 6064	. . . . . . 7 |- ( ( y e. On /\ A e. On ) -> ( y .o A ) e. On )
12		vex 2604	. . . . . . . 8 |- y e. _V
13		oveq1 5539	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( x .o A ) = ( y .o A ) )
14	13, 6	fvmptg 5269	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. _V /\ ( y .o A ) e. On ) -> ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) ` y ) = ( y .o A ) )
15	12, 14	mpan 414	. . . . . . 7 |- ( ( y .o A ) e. On -> ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) ` y ) = ( y .o A ) )
16	11, 15	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( y e. On /\ A e. On ) -> ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) ` y ) = ( y .o A ) )
17	16, 11	eqeltrd 2155	. . . . 5 |- ( ( y e. On /\ A e. On ) -> ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) ` y ) e. On )
18	17	ancoms 264	. . . 4 |- ( ( A e. On /\ y e. On ) -> ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) ` y ) e. On )
19	18	ralrimiva 2434	. . 3 |- ( A e. On -> A. y e. On ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) ` y ) e. On )
20	8, 10, 19	rdgon 5996	. 2 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` B ) e. On )
21	1, 20	eqeltrd 2155	1 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A ↑𝑜 B ) e. On )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   = wceq 1284   e. wcel 1433   A.wral 2348   _Vcvv 2601   |-> cmpt 3839   Oncon0 4118   Fn wfn 4917   ` cfv 4922  (class class class)co 5532   reccrdg 5979   1oc1o 6017   .o comu 6022   ↑_𝑜 coei 6023

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-irdg 5980  df-1o 6024  df-oadd 6028  df-omul 6029  df-oexpi 6030

This theorem is referenced by: (None)