Theorem onsucelsucexmidlem1 4271

Description: Lemma for onsucelsucexmid 4273. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
onsucelsucexmidlem1	|- (/) e. { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = (/) \/ ph ) }

Distinct variable group:   ph, x

Proof of Theorem onsucelsucexmidlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 3905	. . 3 |- (/) e. _V
2	1	prid1 3498	. 2 |- (/) e. { (/) , { (/) } }
3		eqid 2081	. . 3 |- (/) = (/)
4	3	orci 682	. 2 |- ( (/) = (/) \/ ph )
5		eqeq1 2087	. . . 4 |- ( x = (/) -> ( x = (/) <-> (/) = (/) ) )
6	5	orbi1d 737	. . 3 |- ( x = (/) -> ( ( x = (/) \/ ph ) <-> ( (/) = (/) \/ ph ) ) )
7	6	elrab 2749	. 2 |- ( (/) e. { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = (/) \/ ph ) } <-> ( (/) e. { (/) , { (/) } } /\ ( (/) = (/) \/ ph ) ) )
8	2, 4, 7	mpbir2an 883	1 |- (/) e. { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = (/) \/ ph ) }

Syntax hints:   \/ wo 661   = wceq 1284   e. wcel 1433   {crab 2352   (/)c0 3251   {csn 3398   {cpr 3399

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-nul 3904

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-rab 2357  df-v 2603  df-dif 2975  df-un 2977  df-nul 3252  df-sn 3404  df-pr 3405

This theorem is referenced by:  onsucelsucexmidlem  4272  onsucelsucexmid  4273  acexmidlem2  5529