Theorem acexmidlem2 5529

Description: Lemma for acexmid 5531. This builds on acexmidlem1 5528 by noting that every element of C is inhabited.

(Note that y is not quite a function in the df-fun 4924 sense because it uses ordered pairs as described in opthreg 4299 rather than df-op 3407).

The set A is also found in onsucelsucexmidlem 4272.

(Contributed by Jim Kingdon, 5-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
acexmidlem.a	|- A = { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = (/) \/ ph ) }
acexmidlem.b	|- B = { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = { (/) } \/ ph ) }
acexmidlem.c	|- C = { A , B }

Assertion

Ref	Expression
acexmidlem2	|- ( A. z e. C A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( ph \/ -. ph ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, w, v, u, A   x, B, y, z, w, v, u   x, C, y, z, w, v, u   ph, x, y, z, w, v, u

Proof of Theorem acexmidlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ral 2353	. . . . 5 |- ( A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) <-> A. w ( w e. z -> E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) ) )
2		19.23v 1804	. . . . 5 |- ( A. w ( w e. z -> E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) ) <-> ( E. w w e. z -> E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) ) )
3	1, 2	bitr2i 183	. . . 4 |- ( ( E. w w e. z -> E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) ) <-> A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) )
4		acexmidlem.c	. . . . . . . . 9 |- C = { A , B }
5	4	eleq2i 2145	. . . . . . . 8 |- ( z e. C <-> z e. { A , B } )
6		vex 2604	. . . . . . . . 9 |- z e. _V
7	6	elpr 3419	. . . . . . . 8 |- ( z e. { A , B } <-> ( z = A \/ z = B ) )
8	5, 7	bitri 182	. . . . . . 7 |- ( z e. C <-> ( z = A \/ z = B ) )
9		onsucelsucexmidlem1 4271	. . . . . . . . . . 11 |- (/) e. { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = (/) \/ ph ) }
10		acexmidlem.a	. . . . . . . . . . 11 |- A = { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = (/) \/ ph ) }
11	9, 10	eleqtrri 2154	. . . . . . . . . 10 |- (/) e. A
12		elex2 2615	. . . . . . . . . 10 |- ( (/) e. A -> E. w w e. A )
13	11, 12	ax-mp 7	. . . . . . . . 9 |- E. w w e. A
14		eleq2 2142	. . . . . . . . . 10 |- ( z = A -> ( w e. z <-> w e. A ) )
15	14	exbidv 1746	. . . . . . . . 9 |- ( z = A -> ( E. w w e. z <-> E. w w e. A ) )
16	13, 15	mpbiri 166	. . . . . . . 8 |- ( z = A -> E. w w e. z )
17		p0ex 3959	. . . . . . . . . . . . 13 |- { (/) } e. _V
18	17	prid2 3499	. . . . . . . . . . . 12 |- { (/) } e. { (/) , { (/) } }
19		eqid 2081	. . . . . . . . . . . . 13 |- { (/) } = { (/) }
20	19	orci 682	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { (/) } = { (/) } \/ ph )
21		eqeq1 2087	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = { (/) } -> ( x = { (/) } <-> { (/) } = { (/) } ) )
22	21	orbi1d 737	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = { (/) } -> ( ( x = { (/) } \/ ph ) <-> ( { (/) } = { (/) } \/ ph ) ) )
23	22	elrab 2749	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { (/) } e. { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = { (/) } \/ ph ) } <-> ( { (/) } e. { (/) , { (/) } } /\ ( { (/) } = { (/) } \/ ph ) ) )
24	18, 20, 23	mpbir2an 883	. . . . . . . . . . 11 |- { (/) } e. { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = { (/) } \/ ph ) }
25		acexmidlem.b	. . . . . . . . . . 11 |- B = { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = { (/) } \/ ph ) }
26	24, 25	eleqtrri 2154	. . . . . . . . . 10 |- { (/) } e. B
27		elex2 2615	. . . . . . . . . 10 |- ( { (/) } e. B -> E. w w e. B )
28	26, 27	ax-mp 7	. . . . . . . . 9 |- E. w w e. B
29		eleq2 2142	. . . . . . . . . 10 |- ( z = B -> ( w e. z <-> w e. B ) )
30	29	exbidv 1746	. . . . . . . . 9 |- ( z = B -> ( E. w w e. z <-> E. w w e. B ) )
31	28, 30	mpbiri 166	. . . . . . . 8 |- ( z = B -> E. w w e. z )
32	16, 31	jaoi 668	. . . . . . 7 |- ( ( z = A \/ z = B ) -> E. w w e. z )
33	8, 32	sylbi 119	. . . . . 6 |- ( z e. C -> E. w w e. z )
34		pm2.27 39	. . . . . 6 |- ( E. w w e. z -> ( ( E. w w e. z -> E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) ) -> E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) ) )
35	33, 34	syl 14	. . . . 5 |- ( z e. C -> ( ( E. w w e. z -> E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) ) -> E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) ) )
36	35	imp 122	. . . 4 |- ( ( z e. C /\ ( E. w w e. z -> E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) ) ) -> E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) )
37	3, 36	sylan2br 282	. . 3 |- ( ( z e. C /\ A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) ) -> E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) )
38	37	ralimiaa 2425	. 2 |- ( A. z e. C A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) )
39	10, 25, 4	acexmidlem1 5528	. 2 |- ( A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( ph \/ -. ph ) )
40	38, 39	syl 14	1 |- ( A. z e. C A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( ph \/ -. ph ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102   \/ wo 661   A.wal 1282   = wceq 1284   E.wex 1421   e. wcel 1433   A.wral 2348   E.wrex 2349   E!wreu 2350   {crab 2352   (/)c0 3251   {csn 3398   {cpr 3399

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-uni 3602  df-tr 3876  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iota 4887  df-riota 5488

This theorem is referenced by:  acexmidlemv  5530