Theorem ovprc 5560

Description: The value of an operation when the one of the arguments is a proper class. Note: this theorem is dependent on our particular definitions of operation value, function value, and ordered pair. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ovprc1.1	|- Rel dom F

Assertion

Ref	Expression
ovprc	|- ( -. ( A e. _V /\ B e. _V ) -> ( A F B ) = (/) )

Proof of Theorem ovprc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ov 5535	. 2 |- ( A F B ) = ( F ` <. A , B >. )
2		opprc 3591	. . . 4 |- ( -. ( A e. _V /\ B e. _V ) -> <. A , B >. = (/) )
3		0ex 3905	. . . 4 |- (/) e. _V
4	2, 3	syl6eqel 2169	. . 3 |- ( -. ( A e. _V /\ B e. _V ) -> <. A , B >. e. _V )
5		df-br 3786	. . . . 5 |- ( A dom F B <-> <. A , B >. e. dom F )
6		ovprc1.1	. . . . . 6 |- Rel dom F
7		brrelex12 4399	. . . . . 6 |- ( ( Rel dom F /\ A dom F B ) -> ( A e. _V /\ B e. _V ) )
8	6, 7	mpan 414	. . . . 5 |- ( A dom F B -> ( A e. _V /\ B e. _V ) )
9	5, 8	sylbir 133	. . . 4 |- ( <. A , B >. e. dom F -> ( A e. _V /\ B e. _V ) )
10	9	con3i 594	. . 3 |- ( -. ( A e. _V /\ B e. _V ) -> -. <. A , B >. e. dom F )
11		ndmfvg 5225	. . 3 |- ( ( <. A , B >. e. _V /\ -. <. A , B >. e. dom F ) -> ( F ` <. A , B >. ) = (/) )
12	4, 10, 11	syl2anc 403	. 2 |- ( -. ( A e. _V /\ B e. _V ) -> ( F ` <. A , B >. ) = (/) )
13	1, 12	syl5eq 2125	1 |- ( -. ( A e. _V /\ B e. _V ) -> ( A F B ) = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102   = wceq 1284   e. wcel 1433   _Vcvv 2601   (/)c0 3251   <.cop 3401   class class class wbr 3785   dom cdm 4363   Rel wrel 4368   ` cfv 4922  (class class class)co 5532

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-xp 4369  df-rel 4370  df-dm 4373  df-iota 4887  df-fv 4930  df-ov 5535

This theorem is referenced by:  ovprc1  5561  ovprc2  5562