Theorem peano2uzr 8673

Description: Reversed second Peano axiom for upper integers. (Contributed by NM, 2-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
peano2uzr	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> N e. ( ZZ>= ` M ) )

Proof of Theorem peano2uzr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelcn 8630	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) -> N e. CC )
2		ax-1cn 7069	. . . 4 |- 1 e. CC
3		npcan 7317	. . . 4 |- ( ( N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
4	1, 2, 3	sylancl 404	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
5	4	adantl 271	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
6		eluzp1m1 8642	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
7		peano2uz 8671	. . 3 |- ( ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( N - 1 ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
8	6, 7	syl 14	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( N - 1 ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
9	5, 8	eqeltrrd 2156	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> N e. ( ZZ>= ` M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   = wceq 1284   e. wcel 1433   ` cfv 4922  (class class class)co 5532   CCcc 6979   1c1 6982   + caddc 6984   - cmin 7279   ZZcz 8351   ZZ>=cuz 8619

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-addcom 7076  ax-addass 7078  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-ltadd 7092

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-inn 8040  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620

This theorem is referenced by:  peano2fzr  9056  iseqsplit  9458