Theorem iseqsplit 9458

Description: Split a sequence into two sequences. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqsplit.1	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
iseqsplit.2	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
iseqsplit.3	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
iseqsplit.s	|- ( ph -> S e. V )
iseqsplit.4	|- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` K ) )
iseqsplit.5	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( F ` x ) e. S )

Assertion

Ref	Expression
iseqsplit	|- ( ph -> ( seq K ( .+ , F , S ) ` N ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` N ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, F   x, K, y, z   x, M, y, z   ph, x, y, z   x, N, y, z   x, .+ , y, z   x, S, y, z

Allowed substitution hints:   V( x, y, z)

Proof of Theorem iseqsplit

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqsplit.3	. . 3 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
2		eluzfz2 9051	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) -> N e. ( ( M + 1 ) ... N ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ph -> N e. ( ( M + 1 ) ... N ) )
4		eleq1 2141	. . . . . 6 |- ( x = ( M + 1 ) -> ( x e. ( ( M + 1 ) ... N ) <-> ( M + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) )
5		fveq2 5198	. . . . . . 7 |- ( x = ( M + 1 ) -> ( seq K ( .+ , F , S ) ` x ) = ( seq K ( .+ , F , S ) ` ( M + 1 ) ) )
6		fveq2 5198	. . . . . . . 8 |- ( x = ( M + 1 ) -> ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` x ) = ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` ( M + 1 ) ) )
7	6	oveq2d 5548	. . . . . . 7 |- ( x = ( M + 1 ) -> ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` x ) ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` ( M + 1 ) ) ) )
8	5, 7	eqeq12d 2095	. . . . . 6 |- ( x = ( M + 1 ) -> ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` x ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` x ) ) <-> ( seq K ( .+ , F , S ) ` ( M + 1 ) ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` ( M + 1 ) ) ) ) )
9	4, 8	imbi12d 232	. . . . 5 |- ( x = ( M + 1 ) -> ( ( x e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F , S ) ` x ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` x ) ) ) <-> ( ( M + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F , S ) ` ( M + 1 ) ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` ( M + 1 ) ) ) ) ) )
10	9	imbi2d 228	. . . 4 |- ( x = ( M + 1 ) -> ( ( ph -> ( x e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F , S ) ` x ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` x ) ) ) ) <-> ( ph -> ( ( M + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F , S ) ` ( M + 1 ) ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` ( M + 1 ) ) ) ) ) ) )
11		eleq1 2141	. . . . . 6 |- ( x = n -> ( x e. ( ( M + 1 ) ... N ) <-> n e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) )
12		fveq2 5198	. . . . . . 7 |- ( x = n -> ( seq K ( .+ , F , S ) ` x ) = ( seq K ( .+ , F , S ) ` n ) )
13		fveq2 5198	. . . . . . . 8 |- ( x = n -> ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` x ) = ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` n ) )
14	13	oveq2d 5548	. . . . . . 7 |- ( x = n -> ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` x ) ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` n ) ) )
15	12, 14	eqeq12d 2095	. . . . . 6 |- ( x = n -> ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` x ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` x ) ) <-> ( seq K ( .+ , F , S ) ` n ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` n ) ) ) )
16	11, 15	imbi12d 232	. . . . 5 |- ( x = n -> ( ( x e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F , S ) ` x ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` x ) ) ) <-> ( n e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F , S ) ` n ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` n ) ) ) ) )
17	16	imbi2d 228	. . . 4 |- ( x = n -> ( ( ph -> ( x e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F , S ) ` x ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` x ) ) ) ) <-> ( ph -> ( n e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F , S ) ` n ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` n ) ) ) ) ) )
18		eleq1 2141	. . . . . 6 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( x e. ( ( M + 1 ) ... N ) <-> ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) )
19		fveq2 5198	. . . . . . 7 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( seq K ( .+ , F , S ) ` x ) = ( seq K ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) )
20		fveq2 5198	. . . . . . . 8 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` x ) = ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) )
21	20	oveq2d 5548	. . . . . . 7 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` x ) ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) ) )
22	19, 21	eqeq12d 2095	. . . . . 6 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` x ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` x ) ) <-> ( seq K ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) ) ) )
23	18, 22	imbi12d 232	. . . . 5 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( x e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F , S ) ` x ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` x ) ) ) <-> ( ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) ) ) ) )
24	23	imbi2d 228	. . . 4 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( ph -> ( x e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F , S ) ` x ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` x ) ) ) ) <-> ( ph -> ( ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) ) ) ) ) )
25		eleq1 2141	. . . . . 6 |- ( x = N -> ( x e. ( ( M + 1 ) ... N ) <-> N e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) )
26		fveq2 5198	. . . . . . 7 |- ( x = N -> ( seq K ( .+ , F , S ) ` x ) = ( seq K ( .+ , F , S ) ` N ) )
27		fveq2 5198	. . . . . . . 8 |- ( x = N -> ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` x ) = ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` N ) )
28	27	oveq2d 5548	. . . . . . 7 |- ( x = N -> ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` x ) ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` N ) ) )
29	26, 28	eqeq12d 2095	. . . . . 6 |- ( x = N -> ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` x ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` x ) ) <-> ( seq K ( .+ , F , S ) ` N ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` N ) ) ) )
30	25, 29	imbi12d 232	. . . . 5 |- ( x = N -> ( ( x e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F , S ) ` x ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` x ) ) ) <-> ( N e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F , S ) ` N ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` N ) ) ) ) )
31	30	imbi2d 228	. . . 4 |- ( x = N -> ( ( ph -> ( x e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F , S ) ` x ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` x ) ) ) ) <-> ( ph -> ( N e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F , S ) ` N ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` N ) ) ) ) ) )
32		iseqsplit.4	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` K ) )
33		iseqsplit.s	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S e. V )
34		iseqsplit.5	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( F ` x ) e. S )
35		iseqsplit.1	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
36	32, 33, 34, 35	iseqp1 9445	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( seq K ( .+ , F , S ) ` ( M + 1 ) ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( F ` ( M + 1 ) ) ) )
37		eluzel2 8624	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) -> ( M + 1 ) e. ZZ )
38	1, 37	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. ZZ )
39		eluzelz 8628	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. ( ZZ>= ` K ) -> M e. ZZ )
40	32, 39	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> M e. ZZ )
41		peano2uzr 8673	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> x e. ( ZZ>= ` M ) )
42	40, 41	sylan 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> x e. ( ZZ>= ` M ) )
43	32	adantr 270	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> M e. ( ZZ>= ` K ) )
44		uztrn 8635	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ M e. ( ZZ>= ` K ) ) -> x e. ( ZZ>= ` K ) )
45	42, 43, 44	syl2anc 403	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> x e. ( ZZ>= ` K ) )
46	45, 34	syldan 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( F ` x ) e. S )
47	38, 33, 46, 35	iseq1 9442	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` ( M + 1 ) ) = ( F ` ( M + 1 ) ) )
48	47	oveq2d 5548	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` ( M + 1 ) ) ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( F ` ( M + 1 ) ) ) )
49	36, 48	eqtr4d 2116	. . . . . 6 |- ( ph -> ( seq K ( .+ , F , S ) ` ( M + 1 ) ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` ( M + 1 ) ) ) )
50	49	a1d 22	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F , S ) ` ( M + 1 ) ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` ( M + 1 ) ) ) ) )
51	50	a1i 9	. . . 4 |- ( ( M + 1 ) e. ZZ -> ( ph -> ( ( M + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F , S ) ` ( M + 1 ) ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` ( M + 1 ) ) ) ) ) )
52		peano2fzr 9056	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> n e. ( ( M + 1 ) ... N ) )
53	52	adantl 271	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> n e. ( ( M + 1 ) ... N ) )
54	53	expr 367	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> n e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) )
55	54	imim1d 74	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( n e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F , S ) ` n ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` n ) ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F , S ) ` n ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` n ) ) ) ) )
56		oveq1 5539	. . . . . . . . . 10 |- ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` n ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` n ) ) -> ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` n ) ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
57		simprl 497	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
58		peano2uz 8671	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( M e. ( ZZ>= ` K ) -> ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` K ) )
59	32, 58	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` K ) )
60	59	adantr 270	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` K ) )
61		uztrn 8635	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` K ) ) -> n e. ( ZZ>= ` K ) )
62	57, 60, 61	syl2anc 403	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> n e. ( ZZ>= ` K ) )
63	33	adantr 270	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> S e. V )
64	34	adantlr 460	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( F ` x ) e. S )
65	35	adantlr 460	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
66	62, 63, 64, 65	iseqp1 9445	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> ( seq K ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
67	46	adantlr 460	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( F ` x ) e. S )
68	57, 63, 67, 65	iseqp1 9445	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
69	68	oveq2d 5548	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) )
70		simpl 107	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> ph )
71	32, 33, 34, 35	iseqcl 9443	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) e. S )
72	71	adantr 270	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) e. S )
73	57, 63, 67, 65	iseqcl 9443	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` n ) e. S )
74		fzss1 9081	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` K ) -> ( ( M + 1 ) ... N ) C_ ( K ... N ) )
75	32, 58, 74	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) ... N ) C_ ( K ... N ) )
76		simpr 108	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) )
77		ssel2 2994	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( M + 1 ) ... N ) C_ ( K ... N ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( n + 1 ) e. ( K ... N ) )
78	75, 76, 77	syl2an 283	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> ( n + 1 ) e. ( K ... N ) )
79		elfzuz 9041	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. ( K ... N ) -> x e. ( ZZ>= ` K ) )
80	79, 34	sylan2 280	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( K ... N ) ) -> ( F ` x ) e. S )
81	80	ralrimiva 2434	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. x e. ( K ... N ) ( F ` x ) e. S )
82	81	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> A. x e. ( K ... N ) ( F ` x ) e. S )
83		fveq2 5198	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( F ` x ) = ( F ` ( n + 1 ) ) )
84	83	eleq1d 2147	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( F ` x ) e. S <-> ( F ` ( n + 1 ) ) e. S ) )
85	84	rspcv 2697	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n + 1 ) e. ( K ... N ) -> ( A. x e. ( K ... N ) ( F ` x ) e. S -> ( F ` ( n + 1 ) ) e. S ) )
86	78, 82, 85	sylc 61	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) e. S )
87		iseqsplit.2	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
88	87	caovassg 5679	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) e. S /\ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` n ) e. S /\ ( F ` ( n + 1 ) ) e. S ) ) -> ( ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` n ) ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) )
89	70, 72, 73, 86, 88	syl13anc 1171	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> ( ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` n ) ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) )
90	69, 89	eqtr4d 2116	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` n ) ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
91	66, 90	eqeq12d 2095	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) ) <-> ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` n ) ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) )
92	56, 91	syl5ibr 154	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` n ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` n ) ) -> ( seq K ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) ) ) )
93	92	expr 367	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` n ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` n ) ) -> ( seq K ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) ) ) ) )
94	93	a2d 26	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F , S ) ` n ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` n ) ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) ) ) ) )
95	55, 94	syld 44	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( n e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F , S ) ` n ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` n ) ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) ) ) ) )
96	95	expcom 114	. . . . 5 |- ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) -> ( ph -> ( ( n e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F , S ) ` n ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` n ) ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) ) ) ) ) )
97	96	a2d 26	. . . 4 |- ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) -> ( ( ph -> ( n e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F , S ) ` n ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` n ) ) ) ) -> ( ph -> ( ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) ) ) ) ) )
98	10, 17, 24, 31, 51, 97	uzind4 8676	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) -> ( ph -> ( N e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F , S ) ` N ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` N ) ) ) ) )
99	1, 98	mpcom 36	. 2 |- ( ph -> ( N e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F , S ) ` N ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` N ) ) ) )
100	3, 99	mpd 13	1 |- ( ph -> ( seq K ( .+ , F , S ) ` N ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   /\ w3a 919   = wceq 1284   e. wcel 1433   A.wral 2348   C_ wss 2973   ` cfv 4922  (class class class)co 5532   1c1 6982   + caddc 6984   ZZcz 8351   ZZ>=cuz 8619   ...cfz 9029   seqcseq 9431

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-addcom 7076  ax-addass 7078  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-ltadd 7092

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-frec 6001  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-inn 8040  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620  df-fz 9030  df-iseq 9432

This theorem is referenced by:  iseq1p  9459  ibcval5  9690  clim2iser  10175  clim2iser2  10176