Theorem phplem2 6339

Description: Lemma for Pigeonhole Principle. A natural number is equinumerous to its successor minus one of its elements. (Contributed by NM, 11-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
phplem2.1	|- A e. _V
phplem2.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
phplem2	|- ( ( A e. om /\ B e. A ) -> A ~~ ( suc A \ { B } ) )

Proof of Theorem phplem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phplem2.2	. . . . . . . 8 |- B e. _V
2		phplem2.1	. . . . . . . 8 |- A e. _V
3	1, 2	opex 3984	. . . . . . 7 |- <. B , A >. e. _V
4	3	snex 3957	. . . . . 6 |- { <. B , A >. } e. _V
5	1, 2	f1osn 5186	. . . . . 6 |- { <. B , A >. } : { B } -1-1-onto-> { A }
6		f1oen3g 6257	. . . . . 6 |- ( ( { <. B , A >. } e. _V /\ { <. B , A >. } : { B } -1-1-onto-> { A } ) -> { B } ~~ { A } )
7	4, 5, 6	mp2an 416	. . . . 5 |- { B } ~~ { A }
8		difss 3098	. . . . . . 7 |- ( A \ { B } ) C_ A
9	2, 8	ssexi 3916	. . . . . 6 |- ( A \ { B } ) e. _V
10	9	enref 6268	. . . . 5 |- ( A \ { B } ) ~~ ( A \ { B } )
11	7, 10	pm3.2i 266	. . . 4 |- ( { B } ~~ { A } /\ ( A \ { B } ) ~~ ( A \ { B } ) )
12		incom 3158	. . . . . 6 |- ( { A } i^i ( A \ { B } ) ) = ( ( A \ { B } ) i^i { A } )
13		ssrin 3191	. . . . . . . . 9 |- ( ( A \ { B } ) C_ A -> ( ( A \ { B } ) i^i { A } ) C_ ( A i^i { A } ) )
14	8, 13	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- ( ( A \ { B } ) i^i { A } ) C_ ( A i^i { A } )
15		nnord 4352	. . . . . . . . 9 |- ( A e. om -> Ord A )
16		orddisj 4289	. . . . . . . . 9 |- ( Ord A -> ( A i^i { A } ) = (/) )
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( A e. om -> ( A i^i { A } ) = (/) )
18	14, 17	syl5sseq 3047	. . . . . . 7 |- ( A e. om -> ( ( A \ { B } ) i^i { A } ) C_ (/) )
19		ss0 3284	. . . . . . 7 |- ( ( ( A \ { B } ) i^i { A } ) C_ (/) -> ( ( A \ { B } ) i^i { A } ) = (/) )
20	18, 19	syl 14	. . . . . 6 |- ( A e. om -> ( ( A \ { B } ) i^i { A } ) = (/) )
21	12, 20	syl5eq 2125	. . . . 5 |- ( A e. om -> ( { A } i^i ( A \ { B } ) ) = (/) )
22		disjdif 3316	. . . . 5 |- ( { B } i^i ( A \ { B } ) ) = (/)
23	21, 22	jctil 305	. . . 4 |- ( A e. om -> ( ( { B } i^i ( A \ { B } ) ) = (/) /\ ( { A } i^i ( A \ { B } ) ) = (/) ) )
24		unen 6316	. . . 4 |- ( ( ( { B } ~~ { A } /\ ( A \ { B } ) ~~ ( A \ { B } ) ) /\ ( ( { B } i^i ( A \ { B } ) ) = (/) /\ ( { A } i^i ( A \ { B } ) ) = (/) ) ) -> ( { B } u. ( A \ { B } ) ) ~~ ( { A } u. ( A \ { B } ) ) )
25	11, 23, 24	sylancr 405	. . 3 |- ( A e. om -> ( { B } u. ( A \ { B } ) ) ~~ ( { A } u. ( A \ { B } ) ) )
26	25	adantr 270	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. A ) -> ( { B } u. ( A \ { B } ) ) ~~ ( { A } u. ( A \ { B } ) ) )
27		uncom 3116	. . 3 |- ( { B } u. ( A \ { B } ) ) = ( ( A \ { B } ) u. { B } )
28		nndifsnid 6103	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. A ) -> ( ( A \ { B } ) u. { B } ) = A )
29	27, 28	syl5eq 2125	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. A ) -> ( { B } u. ( A \ { B } ) ) = A )
30		phplem1 6338	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. A ) -> ( { A } u. ( A \ { B } ) ) = ( suc A \ { B } ) )
31	26, 29, 30	3brtr3d 3814	1 |- ( ( A e. om /\ B e. A ) -> A ~~ ( suc A \ { B } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   = wceq 1284   e. wcel 1433   _Vcvv 2601   \ cdif 2970   u. cun 2971   i^i cin 2972   C_ wss 2973   (/)c0 3251   {csn 3398   <.cop 3401   class class class wbr 3785   Ord word 4117   suc csuc 4120   omcom 4331   -1-1-onto->wf1o 4921   ~~ cen 6242

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-rab 2357  df-v 2603  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-br 3786  df-opab 3840  df-tr 3876  df-id 4048  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-en 6245

This theorem is referenced by:  phplem3  6340