Theorem pnfnemnf 8851

Description: Plus and minus infinity are different elements of RR*. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
pnfnemnf	|- +oo =/= -oo

Proof of Theorem pnfnemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 8846	. . . 4 |- +oo e. RR*
2		pwne 3934	. . . 4 |- ( +oo e. RR* -> ~P +oo =/= +oo )
3	1, 2	ax-mp 7	. . 3 |- ~P +oo =/= +oo
4	3	necomi 2330	. 2 |- +oo =/= ~P +oo
5		df-mnf 7156	. 2 |- -oo = ~P +oo
6	4, 5	neeqtrri 2274	1 |- +oo =/= -oo

Syntax hints:   e. wcel 1433   =/= wne 2245   ~Pcpw 3382   +oocpnf 7150   -oocmnf 7151   RR*cxr 7152

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-un 4188  ax-cnex 7067

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-rex 2354  df-rab 2357  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-uni 3602  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157

This theorem is referenced by:  mnfnepnf  8852  xrnemnf  8853  xrltnr  8855  pnfnlt  8862  nltmnf  8863  ngtmnft  8885