Theorem preq1 3469

Description: Equality theorem for unordered pairs. (Contributed by NM, 29-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
preq1	|- ( A = B -> { A , C } = { B , C } )

Proof of Theorem preq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sneq 3409	. . 3 |- ( A = B -> { A } = { B } )
2	1	uneq1d 3125	. 2 |- ( A = B -> ( { A } u. { C } ) = ( { B } u. { C } ) )
3		df-pr 3405	. 2 |- { A , C } = ( { A } u. { C } )
4		df-pr 3405	. 2 |- { B , C } = ( { B } u. { C } )
5	2, 3, 4	3eqtr4g 2138	1 |- ( A = B -> { A , C } = { B , C } )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1284   u. cun 2971   {csn 3398   {cpr 3399

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-v 2603  df-un 2977  df-sn 3404  df-pr 3405

This theorem is referenced by:  preq2  3470  preq12  3471  preq1i  3472  preq1d  3475  tpeq1  3478  prnzg  3514  preq12b  3562  preq12bg  3565  opeq1  3570  uniprg  3616  intprg  3669  prexg  3966  opthreg  4299  bj-prexg  10702