Theorem pw2dvdseulemle 10545

Description: Lemma for pw2dvdseu 10546. Powers of two which do and do not divide a natural number. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
pw2dvdseulemle.n	|- ( ph -> N e. NN )
pw2dvdseulemle.a	|- ( ph -> A e. NN0 )
pw2dvdseulemle.b	|- ( ph -> B e. NN0 )
pw2dvdseulemle.2a	|- ( ph -> ( 2 ^ A ) || N )
pw2dvdseulemle.n2b	|- ( ph -> -. ( 2 ^ ( B + 1 ) ) || N )

Assertion

Ref	Expression
pw2dvdseulemle	|- ( ph -> A <_ B )

Proof of Theorem pw2dvdseulemle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pw2dvdseulemle.a	. . 3 |- ( ph -> A e. NN0 )
2	1	nn0red 8342	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
3		pw2dvdseulemle.b	. . 3 |- ( ph -> B e. NN0 )
4	3	nn0red 8342	. 2 |- ( ph -> B e. RR )
5		pw2dvdseulemle.n2b	. . 3 |- ( ph -> -. ( 2 ^ ( B + 1 ) ) || N )
6		2cnd 8112	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ B < A ) -> 2 e. CC )
7	3	adantr 270	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ B < A ) -> B e. NN0 )
8		peano2nn0 8328	. . . . . . . 8 |- ( B e. NN0 -> ( B + 1 ) e. NN0 )
9	7, 8	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ B < A ) -> ( B + 1 ) e. NN0 )
10	1	adantr 270	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ B < A ) -> A e. NN0 )
11		simpr 108	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ B < A ) -> B < A )
12		nn0ltp1le 8413	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. NN0 /\ A e. NN0 ) -> ( B < A <-> ( B + 1 ) <_ A ) )
13	7, 10, 12	syl2anc 403	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ B < A ) -> ( B < A <-> ( B + 1 ) <_ A ) )
14	11, 13	mpbid 145	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ B < A ) -> ( B + 1 ) <_ A )
15		nn0sub2 8421	. . . . . . 7 |- ( ( ( B + 1 ) e. NN0 /\ A e. NN0 /\ ( B + 1 ) <_ A ) -> ( A - ( B + 1 ) ) e. NN0 )
16	9, 10, 14, 15	syl3anc 1169	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ B < A ) -> ( A - ( B + 1 ) ) e. NN0 )
17	6, 16, 9	expaddd 9607	. . . . 5 |- ( ( ph /\ B < A ) -> ( 2 ^ ( ( B + 1 ) + ( A - ( B + 1 ) ) ) ) = ( ( 2 ^ ( B + 1 ) ) x. ( 2 ^ ( A - ( B + 1 ) ) ) ) )
18	9	nn0cnd 8343	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ B < A ) -> ( B + 1 ) e. CC )
19	10	nn0cnd 8343	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ B < A ) -> A e. CC )
20	18, 19	pncan3d 7422	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ B < A ) -> ( ( B + 1 ) + ( A - ( B + 1 ) ) ) = A )
21	20	oveq2d 5548	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ B < A ) -> ( 2 ^ ( ( B + 1 ) + ( A - ( B + 1 ) ) ) ) = ( 2 ^ A ) )
22		pw2dvdseulemle.2a	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 2 ^ A ) || N )
23	22	adantr 270	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ B < A ) -> ( 2 ^ A ) || N )
24	21, 23	eqbrtrd 3805	. . . . 5 |- ( ( ph /\ B < A ) -> ( 2 ^ ( ( B + 1 ) + ( A - ( B + 1 ) ) ) ) || N )
25	17, 24	eqbrtrrd 3807	. . . 4 |- ( ( ph /\ B < A ) -> ( ( 2 ^ ( B + 1 ) ) x. ( 2 ^ ( A - ( B + 1 ) ) ) ) || N )
26		2nn 8193	. . . . . . . 8 |- 2 e. NN
27	26	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ B < A ) -> 2 e. NN )
28	27, 9	nnexpcld 9627	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ B < A ) -> ( 2 ^ ( B + 1 ) ) e. NN )
29	28	nnzd 8468	. . . . 5 |- ( ( ph /\ B < A ) -> ( 2 ^ ( B + 1 ) ) e. ZZ )
30	27, 16	nnexpcld 9627	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ B < A ) -> ( 2 ^ ( A - ( B + 1 ) ) ) e. NN )
31	30	nnzd 8468	. . . . 5 |- ( ( ph /\ B < A ) -> ( 2 ^ ( A - ( B + 1 ) ) ) e. ZZ )
32		pw2dvdseulemle.n	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. NN )
33	32	adantr 270	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ B < A ) -> N e. NN )
34	33	nnzd 8468	. . . . 5 |- ( ( ph /\ B < A ) -> N e. ZZ )
35		muldvds1 10220	. . . . 5 |- ( ( ( 2 ^ ( B + 1 ) ) e. ZZ /\ ( 2 ^ ( A - ( B + 1 ) ) ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( 2 ^ ( B + 1 ) ) x. ( 2 ^ ( A - ( B + 1 ) ) ) ) || N -> ( 2 ^ ( B + 1 ) ) || N ) )
36	29, 31, 34, 35	syl3anc 1169	. . . 4 |- ( ( ph /\ B < A ) -> ( ( ( 2 ^ ( B + 1 ) ) x. ( 2 ^ ( A - ( B + 1 ) ) ) ) || N -> ( 2 ^ ( B + 1 ) ) || N ) )
37	25, 36	mpd 13	. . 3 |- ( ( ph /\ B < A ) -> ( 2 ^ ( B + 1 ) ) || N )
38	5, 37	mtand 623	. 2 |- ( ph -> -. B < A )
39	2, 4, 38	nltled 7230	1 |- ( ph -> A <_ B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   e. wcel 1433   class class class wbr 3785  (class class class)co 5532   1c1 6982   + caddc 6984   x. cmul 6986   < clt 7153   <_ cle 7154   - cmin 7279   NNcn 8039   2c2 8089   NN0cn0 8288   ZZcz 8351   ^cexp 9475   || cdvds 10195

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-mulrcl 7075  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-1rid 7083  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-precex 7086  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092  ax-pre-mulgt0 7093  ax-pre-mulext 7094

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rmo 2356  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-if 3352  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-frec 6001  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-reap 7675  df-ap 7682  df-div 7761  df-inn 8040  df-2 8098  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620  df-iseq 9432  df-iexp 9476  df-dvds 10196

This theorem is referenced by:  pw2dvdseu  10546