Theorem diffitest 6371

Description: If subtracting any set from a finite set gives a finite set, any proposition of the form -. ph is decidable. This is not a proof of full excluded middle, but it is close enough to show we won't be able to prove A e. Fin -> ( A \ B ) e. Fin. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Sep-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
diffitest.1	|- A. a e. Fin A. b ( a \ b ) e. Fin

Assertion

Ref	Expression
diffitest	|- ( -. ph \/ -. -. ph )

Distinct variable groups:   a, b   ph, b

Allowed substitution hint:   ph( a)

Proof of Theorem diffitest

Dummy variables x n w y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 3905	. . . . . 6 |- (/) e. _V
2		snfig 6314	. . . . . 6 |- ( (/) e. _V -> { (/) } e. Fin )
3	1, 2	ax-mp 7	. . . . 5 |- { (/) } e. Fin
4		diffitest.1	. . . . 5 |- A. a e. Fin A. b ( a \ b ) e. Fin
5		difeq1 3083	. . . . . . . 8 |- ( a = { (/) } -> ( a \ b ) = ( { (/) } \ b ) )
6	5	eleq1d 2147	. . . . . . 7 |- ( a = { (/) } -> ( ( a \ b ) e. Fin <-> ( { (/) } \ b ) e. Fin ) )
7	6	albidv 1745	. . . . . 6 |- ( a = { (/) } -> ( A. b ( a \ b ) e. Fin <-> A. b ( { (/) } \ b ) e. Fin ) )
8	7	rspcv 2697	. . . . 5 |- ( { (/) } e. Fin -> ( A. a e. Fin A. b ( a \ b ) e. Fin -> A. b ( { (/) } \ b ) e. Fin ) )
9	3, 4, 8	mp2 16	. . . 4 |- A. b ( { (/) } \ b ) e. Fin
10		rabexg 3921	. . . . . 6 |- ( { (/) } e. Fin -> { x e. { (/) } | ph } e. _V )
11	3, 10	ax-mp 7	. . . . 5 |- { x e. { (/) } | ph } e. _V
12		difeq2 3084	. . . . . 6 |- ( b = { x e. { (/) } | ph } -> ( { (/) } \ b ) = ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) )
13	12	eleq1d 2147	. . . . 5 |- ( b = { x e. { (/) } | ph } -> ( ( { (/) } \ b ) e. Fin <-> ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) e. Fin ) )
14	11, 13	spcv 2691	. . . 4 |- ( A. b ( { (/) } \ b ) e. Fin -> ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) e. Fin )
15	9, 14	ax-mp 7	. . 3 |- ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) e. Fin
16		isfi 6264	. . 3 |- ( ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) e. Fin <-> E. n e. om ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) ~~ n )
17	15, 16	mpbi 143	. 2 |- E. n e. om ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) ~~ n
18		0elnn 4358	. . . . 5 |- ( n e. om -> ( n = (/) \/ (/) e. n ) )
19		breq2 3789	. . . . . . . . . 10 |- ( n = (/) -> ( ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) ~~ n <-> ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) ~~ (/) ) )
20		en0 6298	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) ~~ (/) <-> ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) = (/) )
21	19, 20	syl6bb 194	. . . . . . . . 9 |- ( n = (/) -> ( ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) ~~ n <-> ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) = (/) ) )
22	21	biimpac 292	. . . . . . . 8 |- ( ( ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) ~~ n /\ n = (/) ) -> ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) = (/) )
23		rabeq0 3274	. . . . . . . . 9 |- ( { x e. { (/) } | -. ph } = (/) <-> A. x e. { (/) } -. -. ph )
24		notrab 3241	. . . . . . . . . 10 |- ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) = { x e. { (/) } | -. ph }
25	24	eqeq1i 2088	. . . . . . . . 9 |- ( ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) = (/) <-> { x e. { (/) } | -. ph } = (/) )
26	1	snm 3510	. . . . . . . . . 10 |- E. w w e. { (/) }
27		r19.3rmv 3332	. . . . . . . . . 10 |- ( E. w w e. { (/) } -> ( -. -. ph <-> A. x e. { (/) } -. -. ph ) )
28	26, 27	ax-mp 7	. . . . . . . . 9 |- ( -. -. ph <-> A. x e. { (/) } -. -. ph )
29	23, 25, 28	3bitr4i 210	. . . . . . . 8 |- ( ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) = (/) <-> -. -. ph )
30	22, 29	sylib 120	. . . . . . 7 |- ( ( ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) ~~ n /\ n = (/) ) -> -. -. ph )
31	30	olcd 685	. . . . . 6 |- ( ( ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) ~~ n /\ n = (/) ) -> ( -. ph \/ -. -. ph ) )
32		ensym 6284	. . . . . . . 8 |- ( ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) ~~ n -> n ~~ ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) )
33		elex2 2615	. . . . . . . 8 |- ( (/) e. n -> E. w w e. n )
34		enm 6317	. . . . . . . 8 |- ( ( n ~~ ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) /\ E. w w e. n ) -> E. y y e. ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) )
35	32, 33, 34	syl2an 283	. . . . . . 7 |- ( ( ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) ~~ n /\ (/) e. n ) -> E. y y e. ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) )
36		biidd 170	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( -. ph <-> -. ph ) )
37	36	elrab 2749	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. { x e. { (/) } | -. ph } <-> ( y e. { (/) } /\ -. ph ) )
38	37	simprbi 269	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. { x e. { (/) } | -. ph } -> -. ph )
39	38	orcd 684	. . . . . . . . 9 |- ( y e. { x e. { (/) } | -. ph } -> ( -. ph \/ -. -. ph ) )
40	39, 24	eleq2s 2173	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) -> ( -. ph \/ -. -. ph ) )
41	40	exlimiv 1529	. . . . . . 7 |- ( E. y y e. ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) -> ( -. ph \/ -. -. ph ) )
42	35, 41	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) ~~ n /\ (/) e. n ) -> ( -. ph \/ -. -. ph ) )
43	31, 42	jaodan 743	. . . . 5 |- ( ( ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) ~~ n /\ ( n = (/) \/ (/) e. n ) ) -> ( -. ph \/ -. -. ph ) )
44	18, 43	sylan2 280	. . . 4 |- ( ( ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) ~~ n /\ n e. om ) -> ( -. ph \/ -. -. ph ) )
45	44	ancoms 264	. . 3 |- ( ( n e. om /\ ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) ~~ n ) -> ( -. ph \/ -. -. ph ) )
46	45	rexlimiva 2472	. 2 |- ( E. n e. om ( { (/) } \ { x e. { (/) } | ph } ) ~~ n -> ( -. ph \/ -. -. ph ) )
47	17, 46	ax-mp 7	1 |- ( -. ph \/ -. -. ph )

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 102   <-> wb 103   \/ wo 661   A.wal 1282   = wceq 1284   E.wex 1421   e. wcel 1433   A.wral 2348   E.wrex 2349   {crab 2352   _Vcvv 2601   \ cdif 2970   (/)c0 3251   {csn 3398   class class class wbr 3785   omcom 4331   ~~ cen 6242   Fincfn 6244

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-iinf 4329

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-br 3786  df-opab 3840  df-id 4048  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-1o 6024  df-er 6129  df-en 6245  df-fin 6247

This theorem is referenced by: (None)