Theorem ralunb 3153

Description: Restricted quantification over a union. (Contributed by Scott Fenton, 12-Apr-2011.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 29-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ralunb	|- ( A. x e. ( A u. B ) ph <-> ( A. x e. A ph /\ A. x e. B ph ) )

Proof of Theorem ralunb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elun 3113	. . . . . 6 |- ( x e. ( A u. B ) <-> ( x e. A \/ x e. B ) )
2	1	imbi1i 236	. . . . 5 |- ( ( x e. ( A u. B ) -> ph ) <-> ( ( x e. A \/ x e. B ) -> ph ) )
3		jaob 663	. . . . 5 |- ( ( ( x e. A \/ x e. B ) -> ph ) <-> ( ( x e. A -> ph ) /\ ( x e. B -> ph ) ) )
4	2, 3	bitri 182	. . . 4 |- ( ( x e. ( A u. B ) -> ph ) <-> ( ( x e. A -> ph ) /\ ( x e. B -> ph ) ) )
5	4	albii 1399	. . 3 |- ( A. x ( x e. ( A u. B ) -> ph ) <-> A. x ( ( x e. A -> ph ) /\ ( x e. B -> ph ) ) )
6		19.26 1410	. . 3 |- ( A. x ( ( x e. A -> ph ) /\ ( x e. B -> ph ) ) <-> ( A. x ( x e. A -> ph ) /\ A. x ( x e. B -> ph ) ) )
7	5, 6	bitri 182	. 2 |- ( A. x ( x e. ( A u. B ) -> ph ) <-> ( A. x ( x e. A -> ph ) /\ A. x ( x e. B -> ph ) ) )
8		df-ral 2353	. 2 |- ( A. x e. ( A u. B ) ph <-> A. x ( x e. ( A u. B ) -> ph ) )
9		df-ral 2353	. . 3 |- ( A. x e. A ph <-> A. x ( x e. A -> ph ) )
10		df-ral 2353	. . 3 |- ( A. x e. B ph <-> A. x ( x e. B -> ph ) )
11	9, 10	anbi12i 447	. 2 |- ( ( A. x e. A ph /\ A. x e. B ph ) <-> ( A. x ( x e. A -> ph ) /\ A. x ( x e. B -> ph ) ) )
12	7, 8, 11	3bitr4i 210	1 |- ( A. x e. ( A u. B ) ph <-> ( A. x e. A ph /\ A. x e. B ph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   \/ wo 661   A.wal 1282   e. wcel 1433   A.wral 2348   u. cun 2971

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-v 2603  df-un 2977

This theorem is referenced by:  ralun  3154  ralprg  3443  raltpg  3445  ralunsn  3589  rexfiuz  9875  zsupcllemstep  10341  prmind2  10502