Theorem relssi 4449

Description: Inference from subclass principle for relations. (Contributed by NM, 31-Mar-1998.)

Hypotheses

Ref	Expression
relssi.1	|- Rel A
relssi.2	|- ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B )

Assertion

Ref	Expression
relssi	|- A C_ B

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y

Proof of Theorem relssi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relssi.1	. . 3 |- Rel A
2		ssrel 4446	. . 3 |- ( Rel A -> ( A C_ B <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) ) )
3	1, 2	ax-mp 7	. 2 |- ( A C_ B <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) )
4		relssi.2	. . 3 |- ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B )
5	4	ax-gen 1378	. 2 |- A. y ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B )
6	3, 5	mpgbir 1382	1 |- A C_ B

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 103   A.wal 1282   e. wcel 1433   C_ wss 2973   <.cop 3401   Rel wrel 4368

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-opab 3840  df-xp 4369  df-rel 4370

This theorem is referenced by:  resiexg  4673  dftpos4  5901  enssdom  6265  idssen  6280