Theorem rninxp 4784

Description: Range of the intersection with a cross product. (Contributed by NM, 17-Jan-2006.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
rninxp	|- ( ran ( C i^i ( A X. B ) ) = B <-> A. y e. B E. x e. A x C y )

Distinct variable groups:   x, y, A   y, B   x, C, y

Allowed substitution hint:   B( x)

Proof of Theorem rninxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfss3 2989	. 2 |- ( B C_ ran ( C |` A ) <-> A. y e. B y e. ran ( C |` A ) )
2		ssrnres 4783	. 2 |- ( B C_ ran ( C |` A ) <-> ran ( C i^i ( A X. B ) ) = B )
3		df-ima 4376	. . . . 5 |- ( C " A ) = ran ( C |` A )
4	3	eleq2i 2145	. . . 4 |- ( y e. ( C " A ) <-> y e. ran ( C |` A ) )
5		vex 2604	. . . . 5 |- y e. _V
6	5	elima 4693	. . . 4 |- ( y e. ( C " A ) <-> E. x e. A x C y )
7	4, 6	bitr3i 184	. . 3 |- ( y e. ran ( C |` A ) <-> E. x e. A x C y )
8	7	ralbii 2372	. 2 |- ( A. y e. B y e. ran ( C |` A ) <-> A. y e. B E. x e. A x C y )
9	1, 2, 8	3bitr3i 208	1 |- ( ran ( C i^i ( A X. B ) ) = B <-> A. y e. B E. x e. A x C y )

Syntax hints:   <-> wb 103   = wceq 1284   e. wcel 1433   A.wral 2348   E.wrex 2349   i^i cin 2972   C_ wss 2973   class class class wbr 3785   X. cxp 4361   ran crn 4364   |` cres 4365   "cima 4366

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-br 3786  df-opab 3840  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376

This theorem is referenced by:  dminxp  4785  fncnv  4985