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Theorem rpexp 10532

Description: If two numbers

and

are relatively prime, then they are still relatively prime if raised to a power. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
rpexp	$/\$ $/\$

Proof of Theorem rpexp Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0exp 9511	. . . . . 6
2	1	oveq1d 5547	. . . . 5
3	2	eqeq1d 2089	. . . 4
4		oveq1 5539	. . . . . . 7
5		oveq12 5541	. . . . . . 7 $/\$
6	4, 5	sylan 277	. . . . . 6 $/\$
7	6	eqeq1d 2089	. . . . 5 $/\$
8		oveq12 5541	. . . . . 6 $/\$
9	8	eqeq1d 2089	. . . . 5 $/\$
10	7, 9	bibi12d 233	. . . 4 $/\$
11	3, 10	syl5ibrcom 155	. . 3 $/\$
12	11	3ad2ant3 961	. 2 $/\$ $/\$ $/\$
13		exprmfct 10519	. . . . . . 7
14		simpl1 941	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
15		simpl3 943	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
16	15	nnnn0d 8341	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
17		zexpcl 9491	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
18	14, 16, 17	syl2anc 403	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
19	18	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
20		simpl2 942	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
21	20	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
22		gcddvds 10355	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
23	19, 21, 22	syl2anc 403	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
24	23	simpld 110	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
25		prmz 10493	. . . . . . . . . . . . . . 15
26	25	adantl 271	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
27		simpr 108	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
28	14	zcnd 8470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
29		expeq0 9507	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
30	28, 15, 29	syl2anc 403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
31	30	anbi1d 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
32	27, 31	mtbird 630	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
33		gcdn0cl 10354	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
34	18, 20, 32, 33	syl21anc 1168	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
35	34	nnzd 8468	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
36	35	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
37		dvdstr 10232	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
38	26, 36, 19, 37	syl3anc 1169	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
39	24, 38	mpan2d 418	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
40		simpr 108	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
41		simpll1 977	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
42	15	adantr 270	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
43		prmdvdsexp 10527	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
44	40, 41, 42, 43	syl3anc 1169	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
45	39, 44	sylibd 147	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
46	23	simprd 112	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
47		dvdstr 10232	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
48	26, 36, 21, 47	syl3anc 1169	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
49	46, 48	mpan2d 418	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
50	45, 49	jcad 301	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
51		dvdsgcd 10401	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
52	26, 41, 21, 51	syl3anc 1169	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
53		nprmdvds1 10521	. . . . . . . . . . . . 13
54		breq2 3789	. . . . . . . . . . . . . 14
55	54	notbid 624	. . . . . . . . . . . . 13
56	53, 55	syl5ibrcom 155	. . . . . . . . . . . 12
57	56	necon2ad 2302	. . . . . . . . . . 11
58	57	adantl 271	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
59	50, 52, 58	3syld 56	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
60	59	rexlimdva 2477	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
61		gcdn0cl 10354	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
62	61	3adantl3 1096	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
63		eluz2b3 8691	. . . . . . . . . 10 $/\$
64	63	baib 861	. . . . . . . . 9
65	62, 64	syl 14	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
66	60, 65	sylibrd 167	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
67	13, 66	syl5 32	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
68		exprmfct 10519	. . . . . . 7
69		gcddvds 10355	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
70	41, 21, 69	syl2anc 403	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
71	70	simpld 110	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
72		iddvdsexp 10219	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
73	41, 42, 72	syl2anc 403	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
74	62	nnzd 8468	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
75	74	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
76		dvdstr 10232	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
77	75, 41, 19, 76	syl3anc 1169	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
78	71, 73, 77	mp2and 423	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
79		dvdstr 10232	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
80	26, 75, 19, 79	syl3anc 1169	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
81	78, 80	mpan2d 418	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
82	70	simprd 112	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
83		dvdstr 10232	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
84	26, 75, 21, 83	syl3anc 1169	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
85	82, 84	mpan2d 418	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
86	81, 85	jcad 301	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
87		dvdsgcd 10401	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
88	26, 19, 21, 87	syl3anc 1169	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
89		breq2 3789	. . . . . . . . . . . . . 14
90	89	notbid 624	. . . . . . . . . . . . 13
91	53, 90	syl5ibrcom 155	. . . . . . . . . . . 12
92	91	necon2ad 2302	. . . . . . . . . . 11
93	92	adantl 271	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
94	86, 88, 93	3syld 56	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
95	94	rexlimdva 2477	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
96		eluz2b3 8691	. . . . . . . . . 10 $/\$
97	96	baib 861	. . . . . . . . 9
98	34, 97	syl 14	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
99	95, 98	sylibrd 167	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
100	68, 99	syl5 32	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
101	67, 100	impbid 127	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102	101, 98, 65	3bitr3d 216	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
103		simp1 938	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
104		simp3 940	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
105	104	nnnn0d 8341	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
106	103, 105, 17	syl2anc 403	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
107		simp2 939	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
108	106, 107	gcdcld 10360	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
109	108	nn0zd 8467	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
110		1zzd 8378	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
111		zdceq 8423	. . . . . . 7 $/\$ DECID
112	109, 110, 111	syl2anc 403	. . . . . 6 $/\$ $/\$ DECID
113	103, 107	gcdcld 10360	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
114	113	nn0zd 8467	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
115		zdceq 8423	. . . . . . 7 $/\$ DECID
116	114, 110, 115	syl2anc 403	. . . . . 6 $/\$ $/\$ DECID
117		nebidc 2325	. . . . . 6 DECID DECID
118	112, 116, 117	sylc 61	. . . . 5 $/\$ $/\$
119	118	adantr 270	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
120	102, 119	mpbird 165	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
121	120	ex 113	. 2 $/\$ $/\$ $/\$
122		gcdmndc 10340	. . . 4 $/\$ DECID $/\$
123		exmiddc 777	. . . 4 DECID $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
124	122, 123	syl 14	. . 3 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
125	124	3adant3 958	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
126	12, 121, 125	mpjaod 670	1 $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 102

wb 103 $\/$ wo 661 DECID wdc 775 $/\$ w3a 919

wceq 1284

wcel 1433

wne 2245

wrex 2349 class class class wbr 3785

cfv 4922 (class class class)co 5532

cc 6979

cc0 6981

c1 6982

cn 8039

c2 8089

cn0 8288

cz 8351

cuz 8619

cexp 9475

cdvds 10195

cgcd 10338

cprime 10489

This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 104 ax-ia2 105 ax-ia3 106 ax-in1 576 ax-in2 577 ax-io 662 ax-5 1376 ax-7 1377 ax-gen 1378 ax-ie1 1422 ax-ie2 1423 ax-8 1435 ax-10 1436 ax-11 1437 ax-i12 1438 ax-bndl 1439 ax-4 1440 ax-13 1444 ax-14 1445 ax-17 1459 ax-i9 1463 ax-ial 1467 ax-i5r 1468 ax-ext 2063 ax-coll 3893 ax-sep 3896 ax-nul 3904 ax-pow 3948 ax-pr 3964 ax-un 4188 ax-setind 4280 ax-iinf 4329 ax-cnex 7067 ax-resscn 7068 ax-1cn 7069 ax-1re 7070 ax-icn 7071 ax-addcl 7072 ax-addrcl 7073 ax-mulcl 7074 ax-mulrcl 7075 ax-addcom 7076 ax-mulcom 7077 ax-addass 7078 ax-mulass 7079 ax-distr 7080 ax-i2m1 7081 ax-0lt1 7082 ax-1rid 7083 ax-0id 7084 ax-rnegex 7085 ax-precex 7086 ax-cnre 7087 ax-pre-ltirr 7088 ax-pre-ltwlin 7089 ax-pre-lttrn 7090 ax-pre-apti 7091 ax-pre-ltadd 7092 ax-pre-mulgt0 7093 ax-pre-mulext 7094 ax-arch 7095 ax-caucvg 7096

This theorem depends on definitions: df-bi 115 df-dc 776 df-3or 920 df-3an 921 df-tru 1287 df-fal 1290 df-nf 1390 df-sb 1686 df-eu 1944 df-mo 1945 df-clab 2068 df-cleq 2074 df-clel 2077 df-nfc 2208 df-ne 2246 df-nel 2340 df-ral 2353 df-rex 2354 df-reu 2355 df-rmo 2356 df-rab 2357 df-v 2603 df-sbc 2816 df-csb 2909 df-dif 2975 df-un 2977 df-in 2979 df-ss 2986 df-nul 3252 df-if 3352 df-pw 3384 df-sn 3404 df-pr 3405 df-op 3407 df-uni 3602 df-int 3637 df-iun 3680 df-br 3786 df-opab 3840 df-mpt 3841 df-tr 3876 df-id 4048 df-po 4051 df-iso 4052 df-iord 4121 df-on 4123 df-suc 4126 df-iom 4332 df-xp 4369 df-rel 4370 df-cnv 4371 df-co 4372 df-dm 4373 df-rn 4374 df-res 4375 df-ima 4376 df-iota 4887 df-fun 4924 df-fn 4925 df-f 4926 df-f1 4927 df-fo 4928 df-f1o 4929 df-fv 4930 df-riota 5488 df-ov 5535 df-oprab 5536 df-mpt2 5537 df-1st 5787 df-2nd 5788 df-recs 5943 df-frec 6001 df-1o 6024 df-2o 6025 df-er 6129 df-en 6245 df-sup 6397 df-pnf 7155 df-mnf 7156 df-xr 7157 df-ltxr 7158 df-le 7159 df-sub 7281 df-neg 7282 df-reap 7675 df-ap 7682 df-div 7761 df-inn 8040 df-2 8098 df-3 8099 df-4 8100 df-n0 8289 df-z 8352 df-uz 8620 df-q 8705 df-rp 8735 df-fz 9030 df-fzo 9153 df-fl 9274 df-mod 9325 df-iseq 9432 df-iexp 9476 df-cj 9729 df-re 9730 df-im 9731 df-rsqrt 9884 df-abs 9885 df-dvds 10196 df-gcd 10339 df-prm 10490

This theorem is referenced by: rpexp1i 10533

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