Theorem dmres 4650

Description: The domain of a restriction. Exercise 14 of [TakeutiZaring] p. 25. (Contributed by NM, 1-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
dmres	|- dom ( A |` B ) = ( B i^i dom A )

Proof of Theorem dmres

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2604	. . . . 5 |- x e. _V
2	1	eldm2 4551	. . . 4 |- ( x e. dom ( A |` B ) <-> E. y <. x , y >. e. ( A |` B ) )
3		19.41v 1823	. . . . 5 |- ( E. y ( <. x , y >. e. A /\ x e. B ) <-> ( E. y <. x , y >. e. A /\ x e. B ) )
4		vex 2604	. . . . . . 7 |- y e. _V
5	4	opelres 4635	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. e. ( A |` B ) <-> ( <. x , y >. e. A /\ x e. B ) )
6	5	exbii 1536	. . . . 5 |- ( E. y <. x , y >. e. ( A |` B ) <-> E. y ( <. x , y >. e. A /\ x e. B ) )
7	1	eldm2 4551	. . . . . 6 |- ( x e. dom A <-> E. y <. x , y >. e. A )
8	7	anbi1i 445	. . . . 5 |- ( ( x e. dom A /\ x e. B ) <-> ( E. y <. x , y >. e. A /\ x e. B ) )
9	3, 6, 8	3bitr4i 210	. . . 4 |- ( E. y <. x , y >. e. ( A |` B ) <-> ( x e. dom A /\ x e. B ) )
10	2, 9	bitr2i 183	. . 3 |- ( ( x e. dom A /\ x e. B ) <-> x e. dom ( A |` B ) )
11	10	ineqri 3159	. 2 |- ( dom A i^i B ) = dom ( A |` B )
12		incom 3158	. 2 |- ( dom A i^i B ) = ( B i^i dom A )
13	11, 12	eqtr3i 2103	1 |- dom ( A |` B ) = ( B i^i dom A )

Syntax hints:   /\ wa 102   = wceq 1284   E.wex 1421   e. wcel 1433   i^i cin 2972   <.cop 3401   dom cdm 4363   |` cres 4365

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-br 3786  df-opab 3840  df-xp 4369  df-dm 4373  df-res 4375

This theorem is referenced by:  ssdmres  4651  dmresexg  4652  imadisj  4707  ndmima  4722  imainrect  4786  dmresv  4799  resdmres  4832  funimacnv  4995  fnresdisj  5029  fnres  5035  ssimaex  5255  fnreseql  5298  respreima  5316  ffvresb  5349  fsnunfv  5384  funfvima  5411  offres  5782  smores  5930  smores3  5931  smores2  5932  fnfi  6388  dmaddpi  6515  dmmulpi  6516