Theorem sqoddm1div8 9625

Description: A squared odd number minus 1 divided by 8 is the odd number multiplied with its successor divided by 2. (Contributed by AV, 19-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
sqoddm1div8	|- ( ( N e. ZZ /\ M = ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) -> ( ( ( M ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) = ( ( N x. ( N + 1 ) ) / 2 ) )

Proof of Theorem sqoddm1div8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 5539	. . . . . 6 |- ( M = ( ( 2 x. N ) + 1 ) -> ( M ^ 2 ) = ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) )
2		2z 8379	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. ZZ
3	2	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ZZ -> 2 e. ZZ )
4		id 19	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ZZ -> N e. ZZ )
5	3, 4	zmulcld 8475	. . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> ( 2 x. N ) e. ZZ )
6	5	zcnd 8470	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> ( 2 x. N ) e. CC )
7		binom21 9586	. . . . . . 7 |- ( ( 2 x. N ) e. CC -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) = ( ( ( ( 2 x. N ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( 2 x. N ) ) ) + 1 ) )
8	6, 7	syl 14	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) = ( ( ( ( 2 x. N ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( 2 x. N ) ) ) + 1 ) )
9	1, 8	sylan9eqr 2135	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ M = ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) -> ( M ^ 2 ) = ( ( ( ( 2 x. N ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( 2 x. N ) ) ) + 1 ) )
10	9	oveq1d 5547	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ M = ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) -> ( ( M ^ 2 ) - 1 ) = ( ( ( ( ( 2 x. N ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( 2 x. N ) ) ) + 1 ) - 1 ) )
11		2cnd 8112	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ZZ -> 2 e. CC )
12		zcn 8356	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
13	11, 12	sqmuld 9617	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ZZ -> ( ( 2 x. N ) ^ 2 ) = ( ( 2 ^ 2 ) x. ( N ^ 2 ) ) )
14		sq2 9571	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 ^ 2 ) = 4
15	14	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ZZ -> ( 2 ^ 2 ) = 4 )
16	15	oveq1d 5547	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ZZ -> ( ( 2 ^ 2 ) x. ( N ^ 2 ) ) = ( 4 x. ( N ^ 2 ) ) )
17	13, 16	eqtrd 2113	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ZZ -> ( ( 2 x. N ) ^ 2 ) = ( 4 x. ( N ^ 2 ) ) )
18		mulass 7104	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 e. CC /\ 2 e. CC /\ N e. CC ) -> ( ( 2 x. 2 ) x. N ) = ( 2 x. ( 2 x. N ) ) )
19	18	eqcomd 2086	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 e. CC /\ 2 e. CC /\ N e. CC ) -> ( 2 x. ( 2 x. N ) ) = ( ( 2 x. 2 ) x. N ) )
20	11, 11, 12, 19	syl3anc 1169	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ZZ -> ( 2 x. ( 2 x. N ) ) = ( ( 2 x. 2 ) x. N ) )
21		2t2e4 8186	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 x. 2 ) = 4
22	21	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ZZ -> ( 2 x. 2 ) = 4 )
23	22	oveq1d 5547	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ZZ -> ( ( 2 x. 2 ) x. N ) = ( 4 x. N ) )
24	20, 23	eqtrd 2113	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ZZ -> ( 2 x. ( 2 x. N ) ) = ( 4 x. N ) )
25	17, 24	oveq12d 5550	. . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( 2 x. N ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( 2 x. N ) ) ) = ( ( 4 x. ( N ^ 2 ) ) + ( 4 x. N ) ) )
26	25	oveq1d 5547	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( ( 2 x. N ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( 2 x. N ) ) ) + 1 ) = ( ( ( 4 x. ( N ^ 2 ) ) + ( 4 x. N ) ) + 1 ) )
27	26	oveq1d 5547	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( ( ( 2 x. N ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( 2 x. N ) ) ) + 1 ) - 1 ) = ( ( ( ( 4 x. ( N ^ 2 ) ) + ( 4 x. N ) ) + 1 ) - 1 ) )
28		4z 8381	. . . . . . . . . . 11 |- 4 e. ZZ
29	28	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ZZ -> 4 e. ZZ )
30		zsqcl 9546	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ZZ -> ( N ^ 2 ) e. ZZ )
31	29, 30	zmulcld 8475	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ZZ -> ( 4 x. ( N ^ 2 ) ) e. ZZ )
32	31	zcnd 8470	. . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> ( 4 x. ( N ^ 2 ) ) e. CC )
33	29, 4	zmulcld 8475	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ZZ -> ( 4 x. N ) e. ZZ )
34	33	zcnd 8470	. . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> ( 4 x. N ) e. CC )
35	32, 34	addcld 7138	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> ( ( 4 x. ( N ^ 2 ) ) + ( 4 x. N ) ) e. CC )
36		pncan1 7481	. . . . . . 7 |- ( ( ( 4 x. ( N ^ 2 ) ) + ( 4 x. N ) ) e. CC -> ( ( ( ( 4 x. ( N ^ 2 ) ) + ( 4 x. N ) ) + 1 ) - 1 ) = ( ( 4 x. ( N ^ 2 ) ) + ( 4 x. N ) ) )
37	35, 36	syl 14	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( ( 4 x. ( N ^ 2 ) ) + ( 4 x. N ) ) + 1 ) - 1 ) = ( ( 4 x. ( N ^ 2 ) ) + ( 4 x. N ) ) )
38	27, 37	eqtrd 2113	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( ( ( 2 x. N ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( 2 x. N ) ) ) + 1 ) - 1 ) = ( ( 4 x. ( N ^ 2 ) ) + ( 4 x. N ) ) )
39	38	adantr 270	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ M = ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) -> ( ( ( ( ( 2 x. N ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( 2 x. N ) ) ) + 1 ) - 1 ) = ( ( 4 x. ( N ^ 2 ) ) + ( 4 x. N ) ) )
40	10, 39	eqtrd 2113	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ M = ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) -> ( ( M ^ 2 ) - 1 ) = ( ( 4 x. ( N ^ 2 ) ) + ( 4 x. N ) ) )
41	40	oveq1d 5547	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ M = ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) -> ( ( ( M ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) = ( ( ( 4 x. ( N ^ 2 ) ) + ( 4 x. N ) ) / 8 ) )
42		4cn 8117	. . . . . . 7 |- 4 e. CC
43	42	a1i 9	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> 4 e. CC )
44	30	zcnd 8470	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( N ^ 2 ) e. CC )
45	43, 44, 12	adddid 7143	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( 4 x. ( ( N ^ 2 ) + N ) ) = ( ( 4 x. ( N ^ 2 ) ) + ( 4 x. N ) ) )
46	45	eqcomd 2086	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( ( 4 x. ( N ^ 2 ) ) + ( 4 x. N ) ) = ( 4 x. ( ( N ^ 2 ) + N ) ) )
47	46	oveq1d 5547	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( 4 x. ( N ^ 2 ) ) + ( 4 x. N ) ) / 8 ) = ( ( 4 x. ( ( N ^ 2 ) + N ) ) / 8 ) )
48	47	adantr 270	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ M = ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) -> ( ( ( 4 x. ( N ^ 2 ) ) + ( 4 x. N ) ) / 8 ) = ( ( 4 x. ( ( N ^ 2 ) + N ) ) / 8 ) )
49		4t2e8 8190	. . . . . . 7 |- ( 4 x. 2 ) = 8
50	49	a1i 9	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( 4 x. 2 ) = 8 )
51	50	eqcomd 2086	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> 8 = ( 4 x. 2 ) )
52	51	oveq2d 5548	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( ( 4 x. ( ( N ^ 2 ) + N ) ) / 8 ) = ( ( 4 x. ( ( N ^ 2 ) + N ) ) / ( 4 x. 2 ) ) )
53	30, 4	zaddcld 8473	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( ( N ^ 2 ) + N ) e. ZZ )
54	53	zcnd 8470	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( ( N ^ 2 ) + N ) e. CC )
55		2ap0 8132	. . . . . 6 |- 2 # 0
56	55	a1i 9	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> 2 # 0 )
57		4ap0 8138	. . . . . 6 |- 4 # 0
58	57	a1i 9	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> 4 # 0 )
59	54, 11, 43, 56, 58	divcanap5d 7903	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( ( 4 x. ( ( N ^ 2 ) + N ) ) / ( 4 x. 2 ) ) = ( ( ( N ^ 2 ) + N ) / 2 ) )
60	12	sqvald 9602	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> ( N ^ 2 ) = ( N x. N ) )
61	60	oveq1d 5547	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( ( N ^ 2 ) + N ) = ( ( N x. N ) + N ) )
62	12	mulid1d 7136	. . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> ( N x. 1 ) = N )
63	62	eqcomd 2086	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> N = ( N x. 1 ) )
64	63	oveq2d 5548	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( ( N x. N ) + N ) = ( ( N x. N ) + ( N x. 1 ) ) )
65		1cnd 7135	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> 1 e. CC )
66		adddi 7105	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. CC /\ N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( N x. ( N + 1 ) ) = ( ( N x. N ) + ( N x. 1 ) ) )
67	66	eqcomd 2086	. . . . . . 7 |- ( ( N e. CC /\ N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( N x. N ) + ( N x. 1 ) ) = ( N x. ( N + 1 ) ) )
68	12, 12, 65, 67	syl3anc 1169	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( ( N x. N ) + ( N x. 1 ) ) = ( N x. ( N + 1 ) ) )
69	61, 64, 68	3eqtrd 2117	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( ( N ^ 2 ) + N ) = ( N x. ( N + 1 ) ) )
70	69	oveq1d 5547	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( N ^ 2 ) + N ) / 2 ) = ( ( N x. ( N + 1 ) ) / 2 ) )
71	52, 59, 70	3eqtrd 2117	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( ( 4 x. ( ( N ^ 2 ) + N ) ) / 8 ) = ( ( N x. ( N + 1 ) ) / 2 ) )
72	71	adantr 270	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ M = ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) -> ( ( 4 x. ( ( N ^ 2 ) + N ) ) / 8 ) = ( ( N x. ( N + 1 ) ) / 2 ) )
73	41, 48, 72	3eqtrd 2117	1 |- ( ( N e. ZZ /\ M = ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) -> ( ( ( M ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) = ( ( N x. ( N + 1 ) ) / 2 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   /\ w3a 919   = wceq 1284   e. wcel 1433   class class class wbr 3785  (class class class)co 5532   CCcc 6979   0cc0 6981   1c1 6982   + caddc 6984   x. cmul 6986   - cmin 7279   # cap 7681   / cdiv 7760   2c2 8089   4c4 8091   8c8 8095   ZZcz 8351   ^cexp 9475

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-mulrcl 7075  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-1rid 7083  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-precex 7086  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092  ax-pre-mulgt0 7093  ax-pre-mulext 7094

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rmo 2356  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-if 3352  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-frec 6001  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-reap 7675  df-ap 7682  df-div 7761  df-inn 8040  df-2 8098  df-3 8099  df-4 8100  df-5 8101  df-6 8102  df-7 8103  df-8 8104  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620  df-iseq 9432  df-iexp 9476

This theorem is referenced by:  sqoddm1div8z  10286