Theorem tfrlem1 5946

Description: A technical lemma for transfinite recursion. Compare Lemma 1 of [TakeutiZaring] p. 47. (Contributed by NM, 23-Mar-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 24-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tfrlem1.1	|- ( ph -> A e. On )
tfrlem1.2	|- ( ph -> ( Fun F /\ A C_ dom F ) )
tfrlem1.3	|- ( ph -> ( Fun G /\ A C_ dom G ) )
tfrlem1.4	|- ( ph -> A. x e. A ( F ` x ) = ( B ` ( F |` x ) ) )
tfrlem1.5	|- ( ph -> A. x e. A ( G ` x ) = ( B ` ( G |` x ) ) )

Assertion

Ref	Expression
tfrlem1	|- ( ph -> A. x e. A ( F ` x ) = ( G ` x ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, F   x, G

Allowed substitution hint:   ph( x)

Proof of Theorem tfrlem1

Dummy variables u w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3018	. 2 |- A C_ A
2		tfrlem1.1	. . 3 |- ( ph -> A e. On )
3		sseq1 3020	. . . . . 6 |- ( y = A -> ( y C_ A <-> A C_ A ) )
4		raleq 2549	. . . . . 6 |- ( y = A -> ( A. x e. y ( F ` x ) = ( G ` x ) <-> A. x e. A ( F ` x ) = ( G ` x ) ) )
5	3, 4	imbi12d 232	. . . . 5 |- ( y = A -> ( ( y C_ A -> A. x e. y ( F ` x ) = ( G ` x ) ) <-> ( A C_ A -> A. x e. A ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) )
6	5	imbi2d 228	. . . 4 |- ( y = A -> ( ( ph -> ( y C_ A -> A. x e. y ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) <-> ( ph -> ( A C_ A -> A. x e. A ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) ) )
7		sseq1 3020	. . . . . . 7 |- ( y = z -> ( y C_ A <-> z C_ A ) )
8		raleq 2549	. . . . . . 7 |- ( y = z -> ( A. x e. y ( F ` x ) = ( G ` x ) <-> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) )
9	7, 8	imbi12d 232	. . . . . 6 |- ( y = z -> ( ( y C_ A -> A. x e. y ( F ` x ) = ( G ` x ) ) <-> ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) )
10	9	imbi2d 228	. . . . 5 |- ( y = z -> ( ( ph -> ( y C_ A -> A. x e. y ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) <-> ( ph -> ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) ) )
11		r19.21v 2438	. . . . . 6 |- ( A. z e. y ( ph -> ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) <-> ( ph -> A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) )
12		simplll 499	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) -> ph )
13	12	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> ph )
14		tfrlem1.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( Fun F /\ A C_ dom F ) )
15	13, 14	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> ( Fun F /\ A C_ dom F ) )
16	15	simpld 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> Fun F )
17		funfn 4951	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( Fun F <-> F Fn dom F )
18	16, 17	sylib 120	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> F Fn dom F )
19		simpllr 500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) -> y e. On )
20		eloni 4130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. On -> Ord y )
21	19, 20	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) -> Ord y )
22		ordelss 4134	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( Ord y /\ w e. y ) -> w C_ y )
23	21, 22	sylan 277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> w C_ y )
24		simplr 496	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> y C_ A )
25	23, 24	sstrd 3009	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> w C_ A )
26	15	simprd 112	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> A C_ dom F )
27	25, 26	sstrd 3009	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> w C_ dom F )
28		fnssres 5032	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F Fn dom F /\ w C_ dom F ) -> ( F |` w ) Fn w )
29	18, 27, 28	syl2anc 403	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> ( F |` w ) Fn w )
30		tfrlem1.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( Fun G /\ A C_ dom G ) )
31	13, 30	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> ( Fun G /\ A C_ dom G ) )
32	31	simpld 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> Fun G )
33		funfn 4951	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( Fun G <-> G Fn dom G )
34	32, 33	sylib 120	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> G Fn dom G )
35	31	simprd 112	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> A C_ dom G )
36	25, 35	sstrd 3009	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> w C_ dom G )
37		fnssres 5032	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( G Fn dom G /\ w C_ dom G ) -> ( G |` w ) Fn w )
38	34, 36, 37	syl2anc 403	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> ( G |` w ) Fn w )
39		simpr 108	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) /\ u e. w ) -> u e. w )
40		simplr 496	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) /\ u e. w ) -> w e. y )
41		simplr 496	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) -> A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) )
42	41	ad2antrr 471	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) /\ u e. w ) -> A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) )
43	25	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) /\ u e. w ) -> w C_ A )
44		sseq1 3020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z = w -> ( z C_ A <-> w C_ A ) )
45		raleq 2549	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z = w -> ( A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) <-> A. x e. w ( F ` x ) = ( G ` x ) ) )
46	44, 45	imbi12d 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = w -> ( ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) <-> ( w C_ A -> A. x e. w ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) )
47	46	rspcv 2697	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w e. y -> ( A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) -> ( w C_ A -> A. x e. w ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) )
48	40, 42, 43, 47	syl3c 62	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) /\ u e. w ) -> A. x e. w ( F ` x ) = ( G ` x ) )
49		fveq2 5198	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = u -> ( F ` x ) = ( F ` u ) )
50		fveq2 5198	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = u -> ( G ` x ) = ( G ` u ) )
51	49, 50	eqeq12d 2095	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = u -> ( ( F ` x ) = ( G ` x ) <-> ( F ` u ) = ( G ` u ) ) )
52	51	rspcv 2697	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u e. w -> ( A. x e. w ( F ` x ) = ( G ` x ) -> ( F ` u ) = ( G ` u ) ) )
53	39, 48, 52	sylc 61	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) /\ u e. w ) -> ( F ` u ) = ( G ` u ) )
54		fvres 5219	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u e. w -> ( ( F |` w ) ` u ) = ( F ` u ) )
55	54	adantl 271	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) /\ u e. w ) -> ( ( F |` w ) ` u ) = ( F ` u ) )
56		fvres 5219	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u e. w -> ( ( G |` w ) ` u ) = ( G ` u ) )
57	56	adantl 271	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) /\ u e. w ) -> ( ( G |` w ) ` u ) = ( G ` u ) )
58	53, 55, 57	3eqtr4d 2123	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) /\ u e. w ) -> ( ( F |` w ) ` u ) = ( ( G |` w ) ` u ) )
59	29, 38, 58	eqfnfvd 5289	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> ( F |` w ) = ( G |` w ) )
60	59	fveq2d 5202	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> ( B ` ( F |` w ) ) = ( B ` ( G |` w ) ) )
61		simpr 108	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) -> y C_ A )
62	61	sselda 2999	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> w e. A )
63		tfrlem1.4	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. x e. A ( F ` x ) = ( B ` ( F |` x ) ) )
64	13, 63	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> A. x e. A ( F ` x ) = ( B ` ( F |` x ) ) )
65		fveq2 5198	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = w -> ( F ` x ) = ( F ` w ) )
66		reseq2 4625	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = w -> ( F |` x ) = ( F |` w ) )
67	66	fveq2d 5202	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = w -> ( B ` ( F |` x ) ) = ( B ` ( F |` w ) ) )
68	65, 67	eqeq12d 2095	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = w -> ( ( F ` x ) = ( B ` ( F |` x ) ) <-> ( F ` w ) = ( B ` ( F |` w ) ) ) )
69	68	rspcva 2699	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( w e. A /\ A. x e. A ( F ` x ) = ( B ` ( F |` x ) ) ) -> ( F ` w ) = ( B ` ( F |` w ) ) )
70	62, 64, 69	syl2anc 403	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> ( F ` w ) = ( B ` ( F |` w ) ) )
71		tfrlem1.5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. x e. A ( G ` x ) = ( B ` ( G |` x ) ) )
72	13, 71	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> A. x e. A ( G ` x ) = ( B ` ( G |` x ) ) )
73		fveq2 5198	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = w -> ( G ` x ) = ( G ` w ) )
74		reseq2 4625	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = w -> ( G |` x ) = ( G |` w ) )
75	74	fveq2d 5202	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = w -> ( B ` ( G |` x ) ) = ( B ` ( G |` w ) ) )
76	73, 75	eqeq12d 2095	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = w -> ( ( G ` x ) = ( B ` ( G |` x ) ) <-> ( G ` w ) = ( B ` ( G |` w ) ) ) )
77	76	rspcva 2699	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( w e. A /\ A. x e. A ( G ` x ) = ( B ` ( G |` x ) ) ) -> ( G ` w ) = ( B ` ( G |` w ) ) )
78	62, 72, 77	syl2anc 403	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> ( G ` w ) = ( B ` ( G |` w ) ) )
79	60, 70, 78	3eqtr4d 2123	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> ( F ` w ) = ( G ` w ) )
80	79	ralrimiva 2434	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) -> A. w e. y ( F ` w ) = ( G ` w ) )
81	65, 73	eqeq12d 2095	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = w -> ( ( F ` x ) = ( G ` x ) <-> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) )
82	81	cbvralv 2577	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. y ( F ` x ) = ( G ` x ) <-> A. w e. y ( F ` w ) = ( G ` w ) )
83	80, 82	sylibr 132	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) -> A. x e. y ( F ` x ) = ( G ` x ) )
84	83	exp31 356	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. On ) -> ( A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) -> ( y C_ A -> A. x e. y ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) )
85	84	expcom 114	. . . . . . 7 |- ( y e. On -> ( ph -> ( A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) -> ( y C_ A -> A. x e. y ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) ) )
86	85	a2d 26	. . . . . 6 |- ( y e. On -> ( ( ph -> A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) -> ( ph -> ( y C_ A -> A. x e. y ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) ) )
87	11, 86	syl5bi 150	. . . . 5 |- ( y e. On -> ( A. z e. y ( ph -> ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) -> ( ph -> ( y C_ A -> A. x e. y ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) ) )
88	10, 87	tfis2 4326	. . . 4 |- ( y e. On -> ( ph -> ( y C_ A -> A. x e. y ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) )
89	6, 88	vtoclga 2664	. . 3 |- ( A e. On -> ( ph -> ( A C_ A -> A. x e. A ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) )
90	2, 89	mpcom 36	. 2 |- ( ph -> ( A C_ A -> A. x e. A ( F ` x ) = ( G ` x ) ) )
91	1, 90	mpi 15	1 |- ( ph -> A. x e. A ( F ` x ) = ( G ` x ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   = wceq 1284   e. wcel 1433   A.wral 2348   C_ wss 2973   Ord word 4117   Oncon0 4118   dom cdm 4363   |` cres 4365   Fun wfun 4916   Fn wfn 4917   ` cfv 4922

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-setind 4280

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-iord 4121  df-on 4123  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-res 4375  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-fv 4930

This theorem is referenced by:  tfrlem5  5953