Theorem un0addcl 8321

Description: If S is closed under addition, then so is S u. { 0 }. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
un0addcl.1	|- ( ph -> S C_ CC )
un0addcl.2	|- T = ( S u. { 0 } )
un0addcl.3	|- ( ( ph /\ ( M e. S /\ N e. S ) ) -> ( M + N ) e. S )

Assertion

Ref	Expression
un0addcl	|- ( ( ph /\ ( M e. T /\ N e. T ) ) -> ( M + N ) e. T )

Proof of Theorem un0addcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		un0addcl.2	. . . . 5 |- T = ( S u. { 0 } )
2	1	eleq2i 2145	. . . 4 |- ( N e. T <-> N e. ( S u. { 0 } ) )
3		elun 3113	. . . 4 |- ( N e. ( S u. { 0 } ) <-> ( N e. S \/ N e. { 0 } ) )
4	2, 3	bitri 182	. . 3 |- ( N e. T <-> ( N e. S \/ N e. { 0 } ) )
5	1	eleq2i 2145	. . . . . 6 |- ( M e. T <-> M e. ( S u. { 0 } ) )
6		elun 3113	. . . . . 6 |- ( M e. ( S u. { 0 } ) <-> ( M e. S \/ M e. { 0 } ) )
7	5, 6	bitri 182	. . . . 5 |- ( M e. T <-> ( M e. S \/ M e. { 0 } ) )
8		ssun1 3135	. . . . . . . . 9 |- S C_ ( S u. { 0 } )
9	8, 1	sseqtr4i 3032	. . . . . . . 8 |- S C_ T
10		un0addcl.3	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( M e. S /\ N e. S ) ) -> ( M + N ) e. S )
11	9, 10	sseldi 2997	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( M e. S /\ N e. S ) ) -> ( M + N ) e. T )
12	11	expr 367	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ M e. S ) -> ( N e. S -> ( M + N ) e. T ) )
13		un0addcl.1	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> S C_ CC )
14	13	sselda 2999	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ N e. S ) -> N e. CC )
15	14	addid2d 7258	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. S ) -> ( 0 + N ) = N )
16	9	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> S C_ T )
17	16	sselda 2999	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. S ) -> N e. T )
18	15, 17	eqeltrd 2155	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. S ) -> ( 0 + N ) e. T )
19		elsni 3416	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. { 0 } -> M = 0 )
20	19	oveq1d 5547	. . . . . . . . 9 |- ( M e. { 0 } -> ( M + N ) = ( 0 + N ) )
21	20	eleq1d 2147	. . . . . . . 8 |- ( M e. { 0 } -> ( ( M + N ) e. T <-> ( 0 + N ) e. T ) )
22	18, 21	syl5ibrcom 155	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. S ) -> ( M e. { 0 } -> ( M + N ) e. T ) )
23	22	impancom 256	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ M e. { 0 } ) -> ( N e. S -> ( M + N ) e. T ) )
24	12, 23	jaodan 743	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( M e. S \/ M e. { 0 } ) ) -> ( N e. S -> ( M + N ) e. T ) )
25	7, 24	sylan2b 281	. . . 4 |- ( ( ph /\ M e. T ) -> ( N e. S -> ( M + N ) e. T ) )
26		0cnd 7112	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 e. CC )
27	26	snssd 3530	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> { 0 } C_ CC )
28	13, 27	unssd 3148	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( S u. { 0 } ) C_ CC )
29	1, 28	syl5eqss 3043	. . . . . . . 8 |- ( ph -> T C_ CC )
30	29	sselda 2999	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ M e. T ) -> M e. CC )
31	30	addid1d 7257	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ M e. T ) -> ( M + 0 ) = M )
32		simpr 108	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ M e. T ) -> M e. T )
33	31, 32	eqeltrd 2155	. . . . 5 |- ( ( ph /\ M e. T ) -> ( M + 0 ) e. T )
34		elsni 3416	. . . . . . 7 |- ( N e. { 0 } -> N = 0 )
35	34	oveq2d 5548	. . . . . 6 |- ( N e. { 0 } -> ( M + N ) = ( M + 0 ) )
36	35	eleq1d 2147	. . . . 5 |- ( N e. { 0 } -> ( ( M + N ) e. T <-> ( M + 0 ) e. T ) )
37	33, 36	syl5ibrcom 155	. . . 4 |- ( ( ph /\ M e. T ) -> ( N e. { 0 } -> ( M + N ) e. T ) )
38	25, 37	jaod 669	. . 3 |- ( ( ph /\ M e. T ) -> ( ( N e. S \/ N e. { 0 } ) -> ( M + N ) e. T ) )
39	4, 38	syl5bi 150	. 2 |- ( ( ph /\ M e. T ) -> ( N e. T -> ( M + N ) e. T ) )
40	39	impr 371	1 |- ( ( ph /\ ( M e. T /\ N e. T ) ) -> ( M + N ) e. T )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   \/ wo 661   = wceq 1284   e. wcel 1433   u. cun 2971   C_ wss 2973   {csn 3398  (class class class)co 5532   CCcc 6979   0cc0 6981   + caddc 6984

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-1cn 7069  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-mulcl 7074  ax-addcom 7076  ax-i2m1 7081  ax-0id 7084

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-rex 2354  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-iota 4887  df-fv 4930  df-ov 5535

This theorem is referenced by:  nn0addcl  8323