Theorem un0mulcl 8322

Description: If S is closed under multiplication, then so is S u. { 0 }. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
un0addcl.1	|- ( ph -> S C_ CC )
un0addcl.2	|- T = ( S u. { 0 } )
un0mulcl.3	|- ( ( ph /\ ( M e. S /\ N e. S ) ) -> ( M x. N ) e. S )

Assertion

Ref	Expression
un0mulcl	|- ( ( ph /\ ( M e. T /\ N e. T ) ) -> ( M x. N ) e. T )

Proof of Theorem un0mulcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		un0addcl.2	. . . . 5 |- T = ( S u. { 0 } )
2	1	eleq2i 2145	. . . 4 |- ( N e. T <-> N e. ( S u. { 0 } ) )
3		elun 3113	. . . 4 |- ( N e. ( S u. { 0 } ) <-> ( N e. S \/ N e. { 0 } ) )
4	2, 3	bitri 182	. . 3 |- ( N e. T <-> ( N e. S \/ N e. { 0 } ) )
5	1	eleq2i 2145	. . . . . 6 |- ( M e. T <-> M e. ( S u. { 0 } ) )
6		elun 3113	. . . . . 6 |- ( M e. ( S u. { 0 } ) <-> ( M e. S \/ M e. { 0 } ) )
7	5, 6	bitri 182	. . . . 5 |- ( M e. T <-> ( M e. S \/ M e. { 0 } ) )
8		ssun1 3135	. . . . . . . . 9 |- S C_ ( S u. { 0 } )
9	8, 1	sseqtr4i 3032	. . . . . . . 8 |- S C_ T
10		un0mulcl.3	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( M e. S /\ N e. S ) ) -> ( M x. N ) e. S )
11	9, 10	sseldi 2997	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( M e. S /\ N e. S ) ) -> ( M x. N ) e. T )
12	11	expr 367	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ M e. S ) -> ( N e. S -> ( M x. N ) e. T ) )
13		un0addcl.1	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> S C_ CC )
14	13	sselda 2999	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ N e. S ) -> N e. CC )
15	14	mul02d 7496	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. S ) -> ( 0 x. N ) = 0 )
16		ssun2 3136	. . . . . . . . . . 11 |- { 0 } C_ ( S u. { 0 } )
17	16, 1	sseqtr4i 3032	. . . . . . . . . 10 |- { 0 } C_ T
18		c0ex 7113	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. _V
19	18	snss 3516	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 e. T <-> { 0 } C_ T )
20	17, 19	mpbir 144	. . . . . . . . 9 |- 0 e. T
21	15, 20	syl6eqel 2169	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. S ) -> ( 0 x. N ) e. T )
22		elsni 3416	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. { 0 } -> M = 0 )
23	22	oveq1d 5547	. . . . . . . . 9 |- ( M e. { 0 } -> ( M x. N ) = ( 0 x. N ) )
24	23	eleq1d 2147	. . . . . . . 8 |- ( M e. { 0 } -> ( ( M x. N ) e. T <-> ( 0 x. N ) e. T ) )
25	21, 24	syl5ibrcom 155	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. S ) -> ( M e. { 0 } -> ( M x. N ) e. T ) )
26	25	impancom 256	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ M e. { 0 } ) -> ( N e. S -> ( M x. N ) e. T ) )
27	12, 26	jaodan 743	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( M e. S \/ M e. { 0 } ) ) -> ( N e. S -> ( M x. N ) e. T ) )
28	7, 27	sylan2b 281	. . . 4 |- ( ( ph /\ M e. T ) -> ( N e. S -> ( M x. N ) e. T ) )
29		0cnd 7112	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 e. CC )
30	29	snssd 3530	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> { 0 } C_ CC )
31	13, 30	unssd 3148	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( S u. { 0 } ) C_ CC )
32	1, 31	syl5eqss 3043	. . . . . . . 8 |- ( ph -> T C_ CC )
33	32	sselda 2999	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ M e. T ) -> M e. CC )
34	33	mul01d 7497	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ M e. T ) -> ( M x. 0 ) = 0 )
35	34, 20	syl6eqel 2169	. . . . 5 |- ( ( ph /\ M e. T ) -> ( M x. 0 ) e. T )
36		elsni 3416	. . . . . . 7 |- ( N e. { 0 } -> N = 0 )
37	36	oveq2d 5548	. . . . . 6 |- ( N e. { 0 } -> ( M x. N ) = ( M x. 0 ) )
38	37	eleq1d 2147	. . . . 5 |- ( N e. { 0 } -> ( ( M x. N ) e. T <-> ( M x. 0 ) e. T ) )
39	35, 38	syl5ibrcom 155	. . . 4 |- ( ( ph /\ M e. T ) -> ( N e. { 0 } -> ( M x. N ) e. T ) )
40	28, 39	jaod 669	. . 3 |- ( ( ph /\ M e. T ) -> ( ( N e. S \/ N e. { 0 } ) -> ( M x. N ) e. T ) )
41	4, 40	syl5bi 150	. 2 |- ( ( ph /\ M e. T ) -> ( N e. T -> ( M x. N ) e. T ) )
42	41	impr 371	1 |- ( ( ph /\ ( M e. T /\ N e. T ) ) -> ( M x. N ) e. T )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   \/ wo 661   = wceq 1284   e. wcel 1433   u. cun 2971   C_ wss 2973   {csn 3398  (class class class)co 5532   CCcc 6979   0cc0 6981   x. cmul 6986

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-setind 4280  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-cnre 7087

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-sub 7281

This theorem is referenced by:  nn0mulcl  8324