Theorem xpsspw 4468

Description: A cross product is included in the power of the power of the union of its arguments. (Contributed by NM, 13-Sep-2006.)

Assertion

Ref	Expression
xpsspw	|- ( A X. B ) C_ ~P ~P ( A u. B )

Proof of Theorem xpsspw

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxpi 4379	. . . 4 |- ( z e. ( A X. B ) -> E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) )
2		vex 2604	. . . . . . . 8 |- x e. _V
3		vex 2604	. . . . . . . 8 |- y e. _V
4	2, 3	dfop 3569	. . . . . . 7 |- <. x , y >. = { { x } , { x , y } }
5		snssi 3529	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. A -> { x } C_ A )
6		ssun3 3137	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( { x } C_ A -> { x } C_ ( A u. B ) )
7	5, 6	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. A -> { x } C_ ( A u. B ) )
8	7	adantr 270	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> { x } C_ ( A u. B ) )
9		sseq1 3020	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = { x } -> ( z C_ ( A u. B ) <-> { x } C_ ( A u. B ) ) )
10	8, 9	syl5ibrcom 155	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( z = { x } -> z C_ ( A u. B ) ) )
11		df-pr 3405	. . . . . . . . . . . 12 |- { x , y } = ( { x } u. { y } )
12		snssi 3529	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. B -> { y } C_ B )
13		ssun4 3138	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( { y } C_ B -> { y } C_ ( A u. B ) )
14	12, 13	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. B -> { y } C_ ( A u. B ) )
15	7, 14	anim12i 331	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( { x } C_ ( A u. B ) /\ { y } C_ ( A u. B ) ) )
16		unss 3146	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( { x } C_ ( A u. B ) /\ { y } C_ ( A u. B ) ) <-> ( { x } u. { y } ) C_ ( A u. B ) )
17	15, 16	sylib 120	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( { x } u. { y } ) C_ ( A u. B ) )
18	11, 17	syl5eqss 3043	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> { x , y } C_ ( A u. B ) )
19		sseq1 3020	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = { x , y } -> ( z C_ ( A u. B ) <-> { x , y } C_ ( A u. B ) ) )
20	18, 19	syl5ibrcom 155	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( z = { x , y } -> z C_ ( A u. B ) ) )
21	10, 20	jaod 669	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( ( z = { x } \/ z = { x , y } ) -> z C_ ( A u. B ) ) )
22		vex 2604	. . . . . . . . . 10 |- z e. _V
23	22	elpr 3419	. . . . . . . . 9 |- ( z e. { { x } , { x , y } } <-> ( z = { x } \/ z = { x , y } ) )
24	22	elpw 3388	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ~P ( A u. B ) <-> z C_ ( A u. B ) )
25	21, 23, 24	3imtr4g 203	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( z e. { { x } , { x , y } } -> z e. ~P ( A u. B ) ) )
26	25	ssrdv 3005	. . . . . . 7 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> { { x } , { x , y } } C_ ~P ( A u. B ) )
27	4, 26	syl5eqss 3043	. . . . . 6 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> <. x , y >. C_ ~P ( A u. B ) )
28		sseq1 3020	. . . . . . 7 |- ( z = <. x , y >. -> ( z C_ ~P ( A u. B ) <-> <. x , y >. C_ ~P ( A u. B ) ) )
29	28	biimpar 291	. . . . . 6 |- ( ( z = <. x , y >. /\ <. x , y >. C_ ~P ( A u. B ) ) -> z C_ ~P ( A u. B ) )
30	27, 29	sylan2 280	. . . . 5 |- ( ( z = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) -> z C_ ~P ( A u. B ) )
31	30	exlimivv 1817	. . . 4 |- ( E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) -> z C_ ~P ( A u. B ) )
32	1, 31	syl 14	. . 3 |- ( z e. ( A X. B ) -> z C_ ~P ( A u. B ) )
33	22	elpw 3388	. . 3 |- ( z e. ~P ~P ( A u. B ) <-> z C_ ~P ( A u. B ) )
34	32, 33	sylibr 132	. 2 |- ( z e. ( A X. B ) -> z e. ~P ~P ( A u. B ) )
35	34	ssriv 3003	1 |- ( A X. B ) C_ ~P ~P ( A u. B )

Syntax hints:   /\ wa 102   \/ wo 661   = wceq 1284   E.wex 1421   e. wcel 1433   u. cun 2971   C_ wss 2973   ~Pcpw 3382   {csn 3398   {cpr 3399   <.cop 3401   X. cxp 4361

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-opab 3840  df-xp 4369

This theorem is referenced by:  unixpss  4469  xpexg  4470