Theorem xpexg 4470

Description: The cross product of two sets is a set. Proposition 6.2 of [TakeutiZaring] p. 23. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
xpexg	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A X. B ) e. _V )

Proof of Theorem xpexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsspw 4468	. 2 |- ( A X. B ) C_ ~P ~P ( A u. B )
2		unexg 4196	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A u. B ) e. _V )
3		pwexg 3954	. . 3 |- ( ( A u. B ) e. _V -> ~P ( A u. B ) e. _V )
4		pwexg 3954	. . 3 |- ( ~P ( A u. B ) e. _V -> ~P ~P ( A u. B ) e. _V )
5	2, 3, 4	3syl 17	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ~P ~P ( A u. B ) e. _V )
6		ssexg 3917	. 2 |- ( ( ( A X. B ) C_ ~P ~P ( A u. B ) /\ ~P ~P ( A u. B ) e. _V ) -> ( A X. B ) e. _V )
7	1, 5, 6	sylancr 405	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A X. B ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   e. wcel 1433   _Vcvv 2601   u. cun 2971   C_ wss 2973   ~Pcpw 3382   X. cxp 4361

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-rex 2354  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-opab 3840  df-xp 4369

This theorem is referenced by:  xpex  4471  resiexg  4673  cnvexg  4875  coexg  4882  fex2  5079  fabexg  5097  resfunexgALT  5757  cofunexg  5758  fnexALT  5760  opabex3d  5768  opabex3  5769  oprabexd  5774  ofmresex  5784  mpt2exxg  5853  tposexg  5896  erex  6153  xpdom2  6328  xpdom3m  6331  shftfvalg  9706  climconst2  10130