Theorem 2rexuz 8670

Description: Double existential quantification in an upper set of integers. (Contributed by NM, 3-Nov-2005.)

Assertion

Ref	Expression
2rexuz	⊢ (∃𝑚∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑚)𝜑 ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑚 ≤ 𝑛 ∧ 𝜑))

Distinct variable group:   𝑚,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑛)

Proof of Theorem 2rexuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexuz2 8669	. . 3 ⊢ (∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑚)𝜑 ↔ (𝑚 ∈ ℤ ∧ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑚 ≤ 𝑛 ∧ 𝜑)))
2	1	exbii 1536	. 2 ⊢ (∃𝑚∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑚)𝜑 ↔ ∃𝑚(𝑚 ∈ ℤ ∧ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑚 ≤ 𝑛 ∧ 𝜑)))
3		df-rex 2354	. 2 ⊢ (∃𝑚 ∈ ℤ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑚 ≤ 𝑛 ∧ 𝜑) ↔ ∃𝑚(𝑚 ∈ ℤ ∧ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑚 ≤ 𝑛 ∧ 𝜑)))
4	2, 3	bitr4i 185	1 ⊢ (∃𝑚∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑚)𝜑 ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑚 ≤ 𝑛 ∧ 𝜑))

Syntax hints:   ∧ wa 102   ↔ wb 103  ∃wex 1421   ∈ wcel 1433  ∃wrex 2349   class class class wbr 3785  ‘cfv 4922   ≤ cle 7154  ℤcz 8351  ℤ_≥cuz 8619

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-fv 4930  df-ov 5535  df-neg 7282  df-z 8352  df-uz 8620

This theorem is referenced by: (None)