Theorem 9p1e10 8479

Description: 9 + 1 = 10. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2015.) (Revised by Stanislas Polu, 7-Apr-2020.) (Revised by AV, 1-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
9p1e10	⊢ (9 + 1) = ;10

Proof of Theorem 9p1e10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dec 8478	. 2 ⊢ ;10 = (((9 + 1) · 1) + 0)
2		9nn 8200	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℕ
3		1nn 8050	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
4		nnaddcl 8059	. . . . . 6 ⊢ ((9 ∈ ℕ ∧ 1 ∈ ℕ) → (9 + 1) ∈ ℕ)
5	2, 3, 4	mp2an 416	. . . . 5 ⊢ (9 + 1) ∈ ℕ
6	5	nncni 8049	. . . 4 ⊢ (9 + 1) ∈ ℂ
7	6	mulid1i 7121	. . 3 ⊢ ((9 + 1) · 1) = (9 + 1)
8	7	oveq1i 5542	. 2 ⊢ (((9 + 1) · 1) + 0) = ((9 + 1) + 0)
9	6	addid1i 7250	. 2 ⊢ ((9 + 1) + 0) = (9 + 1)
10	1, 8, 9	3eqtrri 2106	1 ⊢ (9 + 1) = ;10

Syntax hints:   = wceq 1284   ∈ wcel 1433  (class class class)co 5532  0cc0 6981  1c1 6982   + caddc 6984   · cmul 6986  ℕcn 8039  9c9 8096  ;cdc 8477

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-1rid 7083  ax-0id 7084  ax-cnre 7087

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-rab 2357  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-br 3786  df-iota 4887  df-fv 4930  df-ov 5535  df-inn 8040  df-2 8098  df-3 8099  df-4 8100  df-5 8101  df-6 8102  df-7 8103  df-8 8104  df-9 8105  df-dec 8478

This theorem is referenced by:  dfdec10  8480  10nn  8492  le9lt10  8503  decsucc  8517  5p5e10  8547  6p4e10  8548  7p3e10  8551  8p2e10  8556  9p2e11  8563  10m1e9  8572  9lt10  8607  sq10e99m1  9641  3dvdsdec  10264  3dvds2dec  10265