Theorem decsucc 8517

Description: The successor of a decimal integer (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decsucc.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decsucc.2	⊢ (𝐴 + 1) = 𝐵
decsucc.3	⊢ 𝑁 = ;𝐴9

Assertion

Ref	Expression
decsucc	⊢ (𝑁 + 1) = ;𝐵0

Proof of Theorem decsucc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9nn0 8312	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
2		9p1e10 8479	. . . 4 ⊢ (9 + 1) = ;10
3	2	eqcomi 2085	. . 3 ⊢ ;10 = (9 + 1)
4		decsucc.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
5		decsucc.2	. . 3 ⊢ (𝐴 + 1) = 𝐵
6		decsucc.3	. . . 4 ⊢ 𝑁 = ;𝐴9
7		dfdec10 8480	. . . 4 ⊢ ;𝐴9 = ((;10 · 𝐴) + 9)
8	6, 7	eqtri 2101	. . 3 ⊢ 𝑁 = ((;10 · 𝐴) + 9)
9	1, 3, 4, 5, 8	numsucc 8516	. 2 ⊢ (𝑁 + 1) = ((;10 · 𝐵) + 0)
10		dfdec10 8480	. 2 ⊢ ;𝐵0 = ((;10 · 𝐵) + 0)
11	9, 10	eqtr4i 2104	1 ⊢ (𝑁 + 1) = ;𝐵0

Syntax hints:   = wceq 1284   ∈ wcel 1433  (class class class)co 5532  0cc0 6981  1c1 6982   + caddc 6984   · cmul 6986  9c9 8096  ℕ₀cn0 8288  ;cdc 8477

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-1rid 7083  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-cnre 7087

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-br 3786  df-opab 3840  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-sub 7281  df-inn 8040  df-2 8098  df-3 8099  df-4 8100  df-5 8101  df-6 8102  df-7 8103  df-8 8104  df-9 8105  df-n0 8289  df-dec 8478

This theorem is referenced by:  sq10e99m1  9641