Theorem elfzp1b 9114

Description: An integer is a member of a 0-based finite set of sequential integers iff its successor is a member of the corresponding 1-based set. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
elfzp1b	⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ↔ (𝐾 + 1) ∈ (1...𝑁)))

Proof of Theorem elfzp1b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2z 8387	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 + 1) ∈ ℤ)
2		1z 8377	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
3		fzsubel 9078	. . . . . 6 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝐾 + 1) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)) → ((𝐾 + 1) ∈ (1...𝑁) ↔ ((𝐾 + 1) − 1) ∈ ((1 − 1)...(𝑁 − 1))))
4	2, 3	mpanl1 424	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 + 1) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)) → ((𝐾 + 1) ∈ (1...𝑁) ↔ ((𝐾 + 1) − 1) ∈ ((1 − 1)...(𝑁 − 1))))
5	2, 4	mpanr2 428	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 + 1) ∈ ℤ) → ((𝐾 + 1) ∈ (1...𝑁) ↔ ((𝐾 + 1) − 1) ∈ ((1 − 1)...(𝑁 − 1))))
6	1, 5	sylan2 280	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 + 1) ∈ (1...𝑁) ↔ ((𝐾 + 1) − 1) ∈ ((1 − 1)...(𝑁 − 1))))
7	6	ancoms 264	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 + 1) ∈ (1...𝑁) ↔ ((𝐾 + 1) − 1) ∈ ((1 − 1)...(𝑁 − 1))))
8		zcn 8356	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
9		ax-1cn 7069	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
10		pncan 7314	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐾 + 1) − 1) = 𝐾)
11	8, 9, 10	sylancl 404	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 + 1) − 1) = 𝐾)
12		1m1e0 8108	. . . . . 6 ⊢ (1 − 1) = 0
13	12	oveq1i 5542	. . . . 5 ⊢ ((1 − 1)...(𝑁 − 1)) = (0...(𝑁 − 1))
14	13	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((1 − 1)...(𝑁 − 1)) = (0...(𝑁 − 1)))
15	11, 14	eleq12d 2149	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (((𝐾 + 1) − 1) ∈ ((1 − 1)...(𝑁 − 1)) ↔ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1))))
16	15	adantr 270	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐾 + 1) − 1) ∈ ((1 − 1)...(𝑁 − 1)) ↔ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1))))
17	7, 16	bitr2d 187	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ↔ (𝐾 + 1) ∈ (1...𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103   = wceq 1284   ∈ wcel 1433  (class class class)co 5532  ℂcc 6979  0cc0 6981  1c1 6982   + caddc 6984   − cmin 7279  ℤcz 8351  ...cfz 9029

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-addcom 7076  ax-addass 7078  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-ltadd 7092

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-br 3786  df-opab 3840  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-inn 8040  df-n0 8289  df-z 8352  df-fz 9030

This theorem is referenced by: (None)