Theorem mulgt0d 7232

Description: The product of two positive numbers is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
mulgt0d.3	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
mulgt0d.4	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mulgt0d	⊢ (𝜑 → 0 < (𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mulgt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		mulgt0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
3		ltd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		mulgt0d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
5		mulgt0 7186	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < (𝐴 · 𝐵))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl22anc 1170	1 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐴 · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1433   class class class wbr 3785  (class class class)co 5532  ℝcr 6980  0cc0 6981   · cmul 6986   < clt 7153

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1re 7070  ax-addrcl 7073  ax-mulrcl 7075  ax-rnegex 7085  ax-pre-mulgt0 7093

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-rab 2357  df-v 2603  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-xp 4369  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-ltxr 7158

This theorem is referenced by:  ltmul1a  7691  mulge0  7719  recgt0  7928  prodgt0gt0  7929  prodge0  7932  modqmulnn  9344  modqdi  9394