Theorem nlt1pig 6531

Description: No positive integer is less than one. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nlt1pig	⊢ (𝐴 ∈ N → ¬ 𝐴 <N 1𝑜)

Proof of Theorem nlt1pig

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elni 6498	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ N ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅))
2	1	simprbi 269	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ N → 𝐴 ≠ ∅)
3		noel 3255	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ ∅
4		1pi 6505	. . . . . . . . 9 ⊢ 1𝑜 ∈ N
5		ltpiord 6509	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 1𝑜 ∈ N) → (𝐴 <N 1𝑜 ↔ 𝐴 ∈ 1𝑜))
6	4, 5	mpan2 415	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 <N 1𝑜 ↔ 𝐴 ∈ 1𝑜))
7		df-1o 6024	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1𝑜 = suc ∅
8	7	eleq2i 2145	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 1𝑜 ↔ 𝐴 ∈ suc ∅)
9		elsucg 4159	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 ∈ suc ∅ ↔ (𝐴 ∈ ∅ ∨ 𝐴 = ∅)))
10	8, 9	syl5bb 190	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 ∈ 1𝑜 ↔ (𝐴 ∈ ∅ ∨ 𝐴 = ∅)))
11	6, 10	bitrd 186	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 <N 1𝑜 ↔ (𝐴 ∈ ∅ ∨ 𝐴 = ∅)))
12	11	biimpa 290	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐴 <N 1𝑜) → (𝐴 ∈ ∅ ∨ 𝐴 = ∅))
13	12	ord 675	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐴 <N 1𝑜) → (¬ 𝐴 ∈ ∅ → 𝐴 = ∅))
14	3, 13	mpi 15	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐴 <N 1𝑜) → 𝐴 = ∅)
15	14	ex 113	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 <N 1𝑜 → 𝐴 = ∅))
16	15	necon3ad 2287	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 ≠ ∅ → ¬ 𝐴 <N 1𝑜))
17	2, 16	mpd 13	1 ⊢ (𝐴 ∈ N → ¬ 𝐴 <N 1𝑜)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103   ∨ wo 661   = wceq 1284   ∈ wcel 1433   ≠ wne 2245  ∅c0 3251   class class class wbr 3785  suc csuc 4120  ωcom 4331  1_𝑜c1o 6017  Ncnpi 6462   <_N clti 6465

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-br 3786  df-opab 3840  df-eprel 4044  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-1o 6024  df-ni 6494  df-lti 6497

This theorem is referenced by:  caucvgsr  6978