Theorem nndceq 6100

Description: Equality of natural numbers is decidable. Theorem 7.2.6 of [HoTT], p. (varies). For the specific case where 𝐵 is zero, see nndceq0 4357. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nndceq	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → DECID 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem nndceq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nntri3or 6095	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴))
2		elirr 4284	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ 𝐴
3		eleq2 2142	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ∈ 𝐵))
4	2, 3	mtbii 631	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐵)
5	4	con2i 589	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ¬ 𝐴 = 𝐵)
6	5	olcd 685	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 = 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 = 𝐵))
7		orc 665	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 = 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 = 𝐵))
8		elirr 4284	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 𝐵 ∈ 𝐵
9		eleq2 2142	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐵 ∈ 𝐴 ↔ 𝐵 ∈ 𝐵))
10	8, 9	mtbiri 632	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)
11	10	con2i 589	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → ¬ 𝐴 = 𝐵)
12	11	olcd 685	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐴 = 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 = 𝐵))
13	6, 7, 12	3jaoi 1234	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐴 = 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 = 𝐵))
14	1, 13	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 = 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 = 𝐵))
15		df-dc 776	. 2 ⊢ (DECID 𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 = 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 = 𝐵))
16	14, 15	sylibr 132	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → DECID 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 102   ∨ wo 661  DECID wdc 775   ∨ w3o 918   = wceq 1284   ∈ wcel 1433  ωcom 4331

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-uni 3602  df-int 3637  df-tr 3876  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332

This theorem is referenced by:  nndifsnid  6103  fidceq  6354  unsnfidcex  6385  unsnfidcel  6386  enqdc  6551