Theorem 2reuswap 3410

Description: A condition allowing swap of uniqueness and existential quantifiers. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Apr-2017.) (Revised by NM, 16-Jun-2017.)

Assertion

Ref	Expression
2reuswap	|- ( A. x e. A E* y e. B ph -> ( E! x e. A E. y e. B ph -> E! y e. B E. x e. A ph ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   B( y)

Proof of Theorem 2reuswap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rmo 2920	. . 3 |- ( E* y e. B ph <-> E* y ( y e. B /\ ph ) )
2	1	ralbii 2980	. 2 |- ( A. x e. A E* y e. B ph <-> A. x e. A E* y ( y e. B /\ ph ) )
3		df-ral 2917	. . . 4 |- ( A. x e. A E* y ( y e. B /\ ph ) <-> A. x ( x e. A -> E* y ( y e. B /\ ph ) ) )
4		moanimv 2531	. . . . 5 |- ( E* y ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) <-> ( x e. A -> E* y ( y e. B /\ ph ) ) )
5	4	albii 1747	. . . 4 |- ( A. x E* y ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) <-> A. x ( x e. A -> E* y ( y e. B /\ ph ) ) )
6	3, 5	bitr4i 267	. . 3 |- ( A. x e. A E* y ( y e. B /\ ph ) <-> A. x E* y ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) )
7		2euswap 2548	. . . 4 |- ( A. x E* y ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) -> ( E! x E. y ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) -> E! y E. x ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) ) )
8		df-reu 2919	. . . . 5 |- ( E! x e. A E. y e. B ph <-> E! x ( x e. A /\ E. y e. B ph ) )
9		r19.42v 3092	. . . . . . . 8 |- ( E. y e. B ( x e. A /\ ph ) <-> ( x e. A /\ E. y e. B ph ) )
10		df-rex 2918	. . . . . . . 8 |- ( E. y e. B ( x e. A /\ ph ) <-> E. y ( y e. B /\ ( x e. A /\ ph ) ) )
11	9, 10	bitr3i 266	. . . . . . 7 |- ( ( x e. A /\ E. y e. B ph ) <-> E. y ( y e. B /\ ( x e. A /\ ph ) ) )
12		an12 838	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. B /\ ( x e. A /\ ph ) ) <-> ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) )
13	12	exbii 1774	. . . . . . 7 |- ( E. y ( y e. B /\ ( x e. A /\ ph ) ) <-> E. y ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) )
14	11, 13	bitri 264	. . . . . 6 |- ( ( x e. A /\ E. y e. B ph ) <-> E. y ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) )
15	14	eubii 2492	. . . . 5 |- ( E! x ( x e. A /\ E. y e. B ph ) <-> E! x E. y ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) )
16	8, 15	bitri 264	. . . 4 |- ( E! x e. A E. y e. B ph <-> E! x E. y ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) )
17		df-reu 2919	. . . . 5 |- ( E! y e. B E. x e. A ph <-> E! y ( y e. B /\ E. x e. A ph ) )
18		r19.42v 3092	. . . . . . 7 |- ( E. x e. A ( y e. B /\ ph ) <-> ( y e. B /\ E. x e. A ph ) )
19		df-rex 2918	. . . . . . 7 |- ( E. x e. A ( y e. B /\ ph ) <-> E. x ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) )
20	18, 19	bitr3i 266	. . . . . 6 |- ( ( y e. B /\ E. x e. A ph ) <-> E. x ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) )
21	20	eubii 2492	. . . . 5 |- ( E! y ( y e. B /\ E. x e. A ph ) <-> E! y E. x ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) )
22	17, 21	bitri 264	. . . 4 |- ( E! y e. B E. x e. A ph <-> E! y E. x ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) )
23	7, 16, 22	3imtr4g 285	. . 3 |- ( A. x E* y ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) -> ( E! x e. A E. y e. B ph -> E! y e. B E. x e. A ph ) )
24	6, 23	sylbi 207	. 2 |- ( A. x e. A E* y ( y e. B /\ ph ) -> ( E! x e. A E. y e. B ph -> E! y e. B E. x e. A ph ) )
25	2, 24	sylbi 207	1 |- ( A. x e. A E* y e. B ph -> ( E! x e. A E. y e. B ph -> E! y e. B E. x e. A ph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   A.wal 1481   E.wex 1704   e. wcel 1990   E!weu 2470   E*wmo 2471   A.wral 2912   E.wrex 2913   E!wreu 2914   E*wrmo 2915

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-eu 2474  df-mo 2475  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920

This theorem is referenced by:  reuxfr2d  4891  reuxfr3d  29329