Theorem 4cycl2vnunb 27154

Description: In a 4-cycle, two distinct vertices have not a unique common neighbor. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Nov-2017.) (Revised by AV, 2-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
4cycl2vnunb	|- ( ( ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E ) /\ ( { C , D } e. E /\ { D , A } e. E ) /\ ( B e. V /\ D e. V /\ B =/= D ) ) -> -. E! x e. V { { A , x } , { x , C } } C_ E )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, C   x, E   x, V

Allowed substitution hint:   D( x)

Proof of Theorem 4cycl2vnunb

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4cycl2v2nb 27153	. 2 |- ( ( ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E ) /\ ( { C , D } e. E /\ { D , A } e. E ) ) -> ( { { A , B } , { B , C } } C_ E /\ { { A , D } , { D , C } } C_ E ) )
2		preq2 4269	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = B -> { A , x } = { A , B } )
3		preq1 4268	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = B -> { x , C } = { B , C } )
4	2, 3	preq12d 4276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = B -> { { A , x } , { x , C } } = { { A , B } , { B , C } } )
5	4	sseq1d 3632	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = B -> ( { { A , x } , { x , C } } C_ E <-> { { A , B } , { B , C } } C_ E ) )
6	5	anbi1d 741	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = B -> ( ( { { A , x } , { x , C } } C_ E /\ { { A , y } , { y , C } } C_ E ) <-> ( { { A , B } , { B , C } } C_ E /\ { { A , y } , { y , C } } C_ E ) ) )
7		neeq1 2856	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = B -> ( x =/= y <-> B =/= y ) )
8	6, 7	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = B -> ( ( ( { { A , x } , { x , C } } C_ E /\ { { A , y } , { y , C } } C_ E ) /\ x =/= y ) <-> ( ( { { A , B } , { B , C } } C_ E /\ { { A , y } , { y , C } } C_ E ) /\ B =/= y ) ) )
9		preq2 4269	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = D -> { A , y } = { A , D } )
10		preq1 4268	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = D -> { y , C } = { D , C } )
11	9, 10	preq12d 4276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = D -> { { A , y } , { y , C } } = { { A , D } , { D , C } } )
12	11	sseq1d 3632	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = D -> ( { { A , y } , { y , C } } C_ E <-> { { A , D } , { D , C } } C_ E ) )
13	12	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = D -> ( ( { { A , B } , { B , C } } C_ E /\ { { A , y } , { y , C } } C_ E ) <-> ( { { A , B } , { B , C } } C_ E /\ { { A , D } , { D , C } } C_ E ) ) )
14		neeq2 2857	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = D -> ( B =/= y <-> B =/= D ) )
15	13, 14	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = D -> ( ( ( { { A , B } , { B , C } } C_ E /\ { { A , y } , { y , C } } C_ E ) /\ B =/= y ) <-> ( ( { { A , B } , { B , C } } C_ E /\ { { A , D } , { D , C } } C_ E ) /\ B =/= D ) ) )
16	8, 15	rspc2ev 3324	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. V /\ D e. V /\ ( ( { { A , B } , { B , C } } C_ E /\ { { A , D } , { D , C } } C_ E ) /\ B =/= D ) ) -> E. x e. V E. y e. V ( ( { { A , x } , { x , C } } C_ E /\ { { A , y } , { y , C } } C_ E ) /\ x =/= y ) )
17	16	3expa 1265	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B e. V /\ D e. V ) /\ ( ( { { A , B } , { B , C } } C_ E /\ { { A , D } , { D , C } } C_ E ) /\ B =/= D ) ) -> E. x e. V E. y e. V ( ( { { A , x } , { x , C } } C_ E /\ { { A , y } , { y , C } } C_ E ) /\ x =/= y ) )
18	17	expcom 451	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( { { A , B } , { B , C } } C_ E /\ { { A , D } , { D , C } } C_ E ) /\ B =/= D ) -> ( ( B e. V /\ D e. V ) -> E. x e. V E. y e. V ( ( { { A , x } , { x , C } } C_ E /\ { { A , y } , { y , C } } C_ E ) /\ x =/= y ) ) )
19	18	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( ( { { A , B } , { B , C } } C_ E /\ { { A , D } , { D , C } } C_ E ) -> ( B =/= D -> ( ( B e. V /\ D e. V ) -> E. x e. V E. y e. V ( ( { { A , x } , { x , C } } C_ E /\ { { A , y } , { y , C } } C_ E ) /\ x =/= y ) ) ) )
20	19	com13 88	. . . . . . 7 |- ( ( B e. V /\ D e. V ) -> ( B =/= D -> ( ( { { A , B } , { B , C } } C_ E /\ { { A , D } , { D , C } } C_ E ) -> E. x e. V E. y e. V ( ( { { A , x } , { x , C } } C_ E /\ { { A , y } , { y , C } } C_ E ) /\ x =/= y ) ) ) )
21	20	3impia 1261	. . . . . 6 |- ( ( B e. V /\ D e. V /\ B =/= D ) -> ( ( { { A , B } , { B , C } } C_ E /\ { { A , D } , { D , C } } C_ E ) -> E. x e. V E. y e. V ( ( { { A , x } , { x , C } } C_ E /\ { { A , y } , { y , C } } C_ E ) /\ x =/= y ) ) )
22	21	impcom 446	. . . . 5 |- ( ( ( { { A , B } , { B , C } } C_ E /\ { { A , D } , { D , C } } C_ E ) /\ ( B e. V /\ D e. V /\ B =/= D ) ) -> E. x e. V E. y e. V ( ( { { A , x } , { x , C } } C_ E /\ { { A , y } , { y , C } } C_ E ) /\ x =/= y ) )
23		rexnal 2995	. . . . . 6 |- ( E. x e. V -. A. y e. V ( ( { { A , x } , { x , C } } C_ E /\ { { A , y } , { y , C } } C_ E ) -> x = y ) <-> -. A. x e. V A. y e. V ( ( { { A , x } , { x , C } } C_ E /\ { { A , y } , { y , C } } C_ E ) -> x = y ) )
24		rexnal 2995	. . . . . . . 8 |- ( E. y e. V -. ( ( { { A , x } , { x , C } } C_ E /\ { { A , y } , { y , C } } C_ E ) -> x = y ) <-> -. A. y e. V ( ( { { A , x } , { x , C } } C_ E /\ { { A , y } , { y , C } } C_ E ) -> x = y ) )
25		annim 441	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( { { A , x } , { x , C } } C_ E /\ { { A , y } , { y , C } } C_ E ) /\ -. x = y ) <-> -. ( ( { { A , x } , { x , C } } C_ E /\ { { A , y } , { y , C } } C_ E ) -> x = y ) )
26		df-ne 2795	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x =/= y <-> -. x = y )
27	26	bicomi 214	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. x = y <-> x =/= y )
28	27	anbi2i 730	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( { { A , x } , { x , C } } C_ E /\ { { A , y } , { y , C } } C_ E ) /\ -. x = y ) <-> ( ( { { A , x } , { x , C } } C_ E /\ { { A , y } , { y , C } } C_ E ) /\ x =/= y ) )
29	25, 28	bitr3i 266	. . . . . . . . 9 |- ( -. ( ( { { A , x } , { x , C } } C_ E /\ { { A , y } , { y , C } } C_ E ) -> x = y ) <-> ( ( { { A , x } , { x , C } } C_ E /\ { { A , y } , { y , C } } C_ E ) /\ x =/= y ) )
30	29	rexbii 3041	. . . . . . . 8 |- ( E. y e. V -. ( ( { { A , x } , { x , C } } C_ E /\ { { A , y } , { y , C } } C_ E ) -> x = y ) <-> E. y e. V ( ( { { A , x } , { x , C } } C_ E /\ { { A , y } , { y , C } } C_ E ) /\ x =/= y ) )
31	24, 30	bitr3i 266	. . . . . . 7 |- ( -. A. y e. V ( ( { { A , x } , { x , C } } C_ E /\ { { A , y } , { y , C } } C_ E ) -> x = y ) <-> E. y e. V ( ( { { A , x } , { x , C } } C_ E /\ { { A , y } , { y , C } } C_ E ) /\ x =/= y ) )
32	31	rexbii 3041	. . . . . 6 |- ( E. x e. V -. A. y e. V ( ( { { A , x } , { x , C } } C_ E /\ { { A , y } , { y , C } } C_ E ) -> x = y ) <-> E. x e. V E. y e. V ( ( { { A , x } , { x , C } } C_ E /\ { { A , y } , { y , C } } C_ E ) /\ x =/= y ) )
33	23, 32	bitr3i 266	. . . . 5 |- ( -. A. x e. V A. y e. V ( ( { { A , x } , { x , C } } C_ E /\ { { A , y } , { y , C } } C_ E ) -> x = y ) <-> E. x e. V E. y e. V ( ( { { A , x } , { x , C } } C_ E /\ { { A , y } , { y , C } } C_ E ) /\ x =/= y ) )
34	22, 33	sylibr 224	. . . 4 |- ( ( ( { { A , B } , { B , C } } C_ E /\ { { A , D } , { D , C } } C_ E ) /\ ( B e. V /\ D e. V /\ B =/= D ) ) -> -. A. x e. V A. y e. V ( ( { { A , x } , { x , C } } C_ E /\ { { A , y } , { y , C } } C_ E ) -> x = y ) )
35	34	intnand 962	. . 3 |- ( ( ( { { A , B } , { B , C } } C_ E /\ { { A , D } , { D , C } } C_ E ) /\ ( B e. V /\ D e. V /\ B =/= D ) ) -> -. ( E. x e. V { { A , x } , { x , C } } C_ E /\ A. x e. V A. y e. V ( ( { { A , x } , { x , C } } C_ E /\ { { A , y } , { y , C } } C_ E ) -> x = y ) ) )
36		preq2 4269	. . . . . 6 |- ( x = y -> { A , x } = { A , y } )
37		preq1 4268	. . . . . 6 |- ( x = y -> { x , C } = { y , C } )
38	36, 37	preq12d 4276	. . . . 5 |- ( x = y -> { { A , x } , { x , C } } = { { A , y } , { y , C } } )
39	38	sseq1d 3632	. . . 4 |- ( x = y -> ( { { A , x } , { x , C } } C_ E <-> { { A , y } , { y , C } } C_ E ) )
40	39	reu4 3400	. . 3 |- ( E! x e. V { { A , x } , { x , C } } C_ E <-> ( E. x e. V { { A , x } , { x , C } } C_ E /\ A. x e. V A. y e. V ( ( { { A , x } , { x , C } } C_ E /\ { { A , y } , { y , C } } C_ E ) -> x = y ) ) )
41	35, 40	sylnibr 319	. 2 |- ( ( ( { { A , B } , { B , C } } C_ E /\ { { A , D } , { D , C } } C_ E ) /\ ( B e. V /\ D e. V /\ B =/= D ) ) -> -. E! x e. V { { A , x } , { x , C } } C_ E )
42	1, 41	stoic3 1701	1 |- ( ( ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E ) /\ ( { C , D } e. E /\ { D , A } e. E ) /\ ( B e. V /\ D e. V /\ B =/= D ) ) -> -. E! x e. V { { A , x } , { x , C } } C_ E )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   E!wreu 2914   C_ wss 3574   {cpr 4179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-v 3202  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-sn 4178  df-pr 4180

This theorem is referenced by:  n4cyclfrgr  27155  4cyclusnfrgr  27156